Hodnost matice
Vysvětlení pojmu Matice.16 Hodnost h matice A je dána počtem jejích lineárně nezávislých řádků (sloupců). |
Hodnost matice se nezmění, když:
- zaměníme pořadí řádků v matici;
- vynásobíme jeden řádek nenulovým číslem;
- přičteme k jednomu libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků;
- vynecháme v matici resp. přidáme do matice řádek, který je lineární kombinací ostatních řádků matice.
Čtvercovou matici, jejíž hodnost je menší než její stupeň (h < n), nazýváme singulární. Její determinant je roven nule, tj. |A| = 0.
Čtvercovou matici, jejíž hodnost je rovna stupni (h = n), nazýváme regulární. Její determinant je různý od nuly, tj. |A| ≠ 0.
Hodnost matice stanovíme pomocí její transformace na trojúhelníkovou matici, přičemž použijeme následující elementární operace:
- výměna dvou řádků;
- násobení některého řádku nenulovou konstantou;
- přičtení k násobku (k ≠ 0) jednoho řádku k jinému řádku.
Příklad Matice.20
Určete hodnost matice .
Řešení:
Vynásobením prvního řádku -2 a po sečtení s třetím řádkem dostáváme . Poté odečteme druhý řádek od třetího a máme . Protože tvar výsledné matice určuje, že v matici jsou tři lineárně nezávislé řádky, je hodnost matice h = 3. Její determinant by měl být různý od nuly, což ověříme pomocí Sarrusova pravidla
, resp. z původního tvaru matice .