Příklad 1

Navrhněte lineární rozdělení dvourozměrného prostoru pomocí algoritmu podpůrných vektorů za předpokladu, že vektory  = (1, 1)^T a = (1, -1) patří do třídy  a vektory  = (-1, 1)^T a  = (-1, -1) do třídy (viz Obr. 13a).

Řešení

Jednoduchá geometrie zadání patrná z Obr. 13a a znalost principu algoritmu podpůrných vektorů vede k intuitivnímu řešení úlohy, definujícímu hraniční funkci  pro  = 1 a  =  = 0 (Obr. 13b). V tom případě jsou všechny čtyři obrazové vektory podpůrnými vektory a toleranční pás oddělující hraniční přímku od všech podpůrných vektorů je široký právě 1. Všechna ostatní možná řešení (např. řešení vyznačené čárkovaně na Obr. 13c) vedou k menší šířce tolerančního pásma.

Pokusme se nyní o matematickou formulaci a řešení zadané úlohy. Lagrangova funkce podle vztahu (19) v tomto konkrétním případě nabývá tvaru

(P1)

Její derivací podle jednotlivých souřadnic vektoru w dostáváme

(P2)

a ze vztahu (20) plyne

(P3)

Jednotlivé rovnice se rovnají nule, buď když = 0, nebo když jsou rovny nule výrazy v závorce, nebo obojí. Protože v této chvíli nevíme, jaké hodnoty nabudou Langrangovy součinitele , budeme se zabývat případem, kdy se budou rovnat nule výrazy v závorkách. V tom případě se výše uvedená soustava rovnic (P3) transformuje do lineárního tvaru

(P4)

která má řešení  = 1 a  =  = 0, což odpovídá intuitivnímu řešení uvedenému na začátku řešení tohoto příkladu. Po dosazení za , a do (P4) dostáváme lineární soustavu tří rovnic pro čtyři neznámé , , a .

(P5)

Tato soustava má nekonečně mnoho řešení, která lze parametricky popsat

(P6)

Ovšem všechna řešení odpovídají optimálnímu nastavení souřadnic vektoru w, např. pro t = 0,25 jsou = 0,25,  = 0,25,  = 0,25 a stejně  = 0,25.