Metriky pro určení podobnosti mezi dvěma obrazy s kvalitativní-mi hodnotami souřadnic

V praxi se pro vektory s kvantitativními hodnotami (spojitými i diskrétními) používají především následující míry podobnosti.

Skalární součin je pro dva sloupcové vektory x₁ a x₂ definován v euklidovském prostoru vztahem

Ve většině případů je skalární součin jako míra podobnosti použit pro vektory x₁ a x₂ o stejné délce (modulu), např. a. V těch případech jsou horní, resp. dolní mez skalárního součinu , resp.  a jeho hodnoty v tom případě závisí výhradně na úhlu, který oba vektory svírají. Hodnoty skalární součin nabývá, pokud oba vektory svírají nulový úhel, hodnoty , pokud je mezi nimi úhel 180° a nulové hodnoty, pokud jsou oba vektory na sebe kolmé. Z dosud uvedeného plyne, že skalární součin je invariantní vůči rotaci (jejich absolutní orientace není podstatná, důležitý je pouze úhel mezi nimi), nikoliv však vůči lineární transformaci (závisí na délce vektorů).

Ze skalárního součinu vektorů o délce a je možné odvodit i metriku vzdálenosti podle vztahu

Na výpočtu skalárního součinu je založena i metrika kosinové podobnosti, která předpokládá, že oba vektory jsou normovány, tedy mají jednotkovou délku. Platí

kde  je norma (délka) vektoru x_i, určená podle vztahu (17). To znamená, že platí vše výše uvedené pro skalární součin s tím, že délka obou vektorů je jednotková, tj. a = 1. Hodnoty podobnosti  jsou pak rovny kosinu úhlu mezi oběma vektory .

Pearsonův korelační koeficient, známá statistická míra definovaná výrazem

kde ,  představují j-tou souřadnici vektoru  a  je střední hodnota určená ze souřadnic vektoru . Vektory  se obvykle nazývají diferenční vektory. Podobně jako v případě kosinové podobnosti, nabývá Pearsonův korelační koeficient hodnot z intervalu , rozdíl vůči kosinové míře podobnosti je ten, že určuje vztah nikoliv vektorů x₁ a x₂, nýbrž jejich diferenčních variant.

I z hodnot Pearsonova korelačního koeficientu lze určit vzdálenost obou vektorů pomocí metriky

jejíž hodnoty se, díky dělení dvěma, vyskytují v intervalu . Tato metrika se používá např. při analýze dat genové exprese.

Tanimotova metrika podobnosti je další, celkem běžně používaná metrika podobnosti. Pro sloupcové vektory x₁ a x₂ je definovaná vztahem

Přičteme-li a odečteme-li ve jmenovateli výraz x₁^Tx₂ a podělíme-li čitatele i jmenovatele zlomku toutéž hodnotou, dostaneme

Tanimotova podobnost vektorů x₁ a x₂ je tak nepřímo úměrná kvadrátu Euklidovy vzdálenosti vektorů x₁ a x₂ vztažené k jejich skalárnímu součinu. Pokud skalární součin považujeme za míru korelace obou vektorů, můžeme formulovat výše uvedené konstatování tak, že hodnota podobnosti s_T(x₁, x₂) je nepřímo úměrná kvadrátu Euklidovy vzdálenosti podělenému velikostí jejich korelace, což znamená, že je korelaci, jako míře podobnosti přímo úměrná.

Konečně poslední z prakticky užitečných metrik podobnosti je metrika definovaná vztahem

Maximální hodnota podobnosti podle metriky  je rovna jedné, když x₁ = x₂ a svého minima, tj. , když _.

Příklad 4.1

Dokažte uvedené vlastnosti metriky podle vztahu (36) ve dvourozměrném prostoru.

Řešení:

Vzhledem k nulovému čitateli ve zlomku je výsledná hodnota podobnosti  rovna jedné, právě jak bylo konstatováno. V případě, že x₁ = -x₂, předpokládáme značení x₁₁ = x₁ a x₂₁ = -x₁. Podobně x₁₂ = x₂ a x₂₂ = -x₂. Za těchto formálních podmínek je podobnost

tak, jak bylo uvedeno.