Příklad 3

Určete pomocí Karhunenova-Loevova rozvoje novou souřadnicovou soustavu pro centrované body podle obr.2, tj. pro body  = (0; 0),  = (-0,6; 0,8) a  = (0,6; -0,8), která umožní popsat oba vektory s minimální střední kvadratickou odchylkou.

Řešení:

Autokorelační funkce pro danou množinu vektorů je

Vlastní čísla , která vypočítáme ze vztahu

a tedy  ,

jsou = 0 a  = 0,667.

Pro = 0 je soustava rovnic

Při srovnání koeficientů v obou soustavách rovnic - hodnoty jsou týž, pouze v inverzním pořadí. Proto jsou souřadnice opět lineárně závislé a platí  ;   . Při volbě je . To reprezentuje vlastní vektor  = (4, 3), který má týž směr jako souřadnice v obr.2 i obr.1.

Pro = 0,667 dostáváme lineární soustavu dvou rovnic

Rovnice jsou lineárně závislé, proto je ;  . Při volbě  je hodnota , což představuje směrový vlastní vektor  = (-3, 4) odpovídající souřadnici v  obr.2 i obr.1.

Pokud odstraníme osu a ponecháme osu je střední kvadratická chyba . Tedy hodnota právě rovná vlastnímu číslu . Podobně při odstranění souřadnicové osy je chyba rovna .