Mantelův test

Mantelův test (MT) lze zjednodušeně popsat jako shodu mezi dvěma vícerozměrnými datovými soubory. Tuto shodu určíme na základě korelací datových matic.
Prvním krokem je výpočet matice vzdáleností mezi objekty ve vícerozměrném prostoru. Následně Mantelův test počítá korelaci mezi dvěma maticemi vzdáleností a potom pomocí náhodného procesu nebo parametrické aproximace stanovuje, jestli se získaná korelace liší od náhodné.
Mantelův test předpokládá nezávislost mezi maticemi, tedy musí být je nezávislá na podobnostní míře v , tzn. matice nesmí pocházet z analýzy matice . Nulová hypotéza Mantelova testu je, že vzdálenosti mezi objekty v matici lineárně nekorelují s odpovídajícími vzdálenostmi matice . Oproti tomu alternativní hypotéza říká, že body z matice jsou lineárně korelovány s body z matice .

Základní statistikou Mantelova testu je statistika , což je suma přes všechny objekty v obou asociačních maticích, vyjma diagonálních prvků, tedy

(3)

Druhý možný přístup je standardizovat hodnoty každé asociační matice. Pak je suma všech prvků v matici dělena polovinou počtu vzdáleností v matici mínus 1 . Tato statistika, která se značí , pak nabývá hodnot od mínus jedné do jedné a chová se podobně jako korelační koeficient. Lze ji tedy vypočítat jako

(4)

kde  je počet hodnot nad hlavní diagonálou matice.
Třetím přístupem je transformovat prvky asociační matice na pořadí před výpočtem standardizované Mantelovy statistiky . Tento přístup je ekvivalentní výpočtu Spearmanova korelačního koeficientu mezi korespondujícími maticemi a . Mantelova statistika vypočtená jedním ze třech uvedených způsobů je následně testována pomocí permutací. Celý postup Mantelova testu lze tedy popsat takto

(1) Spočítají se hodnoty  nebo  (před výpočtem  navíc můžeme použít transformaci na pořadí);
(2) náhodně se přehodí řádky v maticích (vždy si odpovídající);
(3) opět se spočítají hodnoty  resp.  na permutovaných maticích.

Kroky 2 a 3 se opakují, pokud možno vícekrát (tzn. provedeme iterací). Výsledkem je výpočet p-hodnoty, kterou získáme jako , kde  je počet iterací, v nichž bylo (resp. ). Pokud je p-hodnota menší než 0,05, můžeme říci, že vzdálenosti mezi objekty v matici statisticky významně lineárně korelují s odpovídajícími vzdálenostmi matice .

Permutační test vede ke stejné pravděpodobnosti statistik  a , protože výsledek všech hodnot ( a ), ať už permutovaných nebo ne, je ovlivněn stejnou lineární transformací nebo sérií podobností nebo nepodobností. Toto je nejdůležitější vlastnost Mantelova testu. Díky tomu náhodné hodnoty použité v maticích nejsou problém, protože získané párové hodnoty mají stejnou pravděpodobnost.