Příklad 2

Určete pomocí Karhunenova-Loevova rozvoje novou souřadnicovou soustavu pro situaci znázorněnou na obr.1, tj. pro body  = (4; 3),  = (3,4; 3,8) a  = (4,6; 2,2), která umožní popsat oba vektory s minimální střední kvadratickou odchylkou.

Řešení:
Autokorelační funkce pro danou množinu vektorů je

Vlastní čísla , která vypočítáme ze vztahu

a tedy

jsou =25 a =0,667

Pro = 25 dostáváme lineární soustavu dvou rovnic

Rovnice jsou lineárně závislé, proto je ;   . Při volbě je hodnota , což představuje směrový vlastní vektor  = (4, 3) odpovídající souřadnici v obr.1.

Pro = 0667 je soustava rovnic

Při srovnání koeficientů v obou soustavách rovnic - hodnoty jsou týž, pouze v inverzním pořadí. Proto jsou souřadnice opět lineárně závislé ;  . Při volbě je . To zase reprezentuje vlastní vektor  = (3, -4), který má týž směr jako souřadnice v obr.1.

Pokud odstraníme osu a ponecháme osu _, je střední kvadratická chyba . Tedy hodnota právě rovná vlastnímu číslu . Podobně při odstranění souřadnicové osy je chyba rovna .