Příklad 2
Určete pomocí Karhunenova-Loevova rozvoje novou souřadnicovou soustavu pro situaci znázorněnou na obr.1, tj. pro body = (4; 3), = (3,4; 3,8) a = (4,6; 2,2), která umožní popsat oba vektory s minimální střední kvadratickou odchylkou.
Řešení:
Autokorelační funkce pro danou množinu vektorů je
Vlastní čísla , která vypočítáme ze vztahu
jsou =25 a =0,667
Pro = 25 dostáváme lineární soustavu dvou rovnic
Rovnice jsou lineárně závislé, proto je ; . Při volbě je hodnota , což představuje směrový vlastní vektor = (4, 3) odpovídající souřadnici v obr.1.
Pro = 0667 je soustava rovnic
Při srovnání koeficientů v obou soustavách rovnic - hodnoty jsou týž, pouze v inverzním pořadí. Proto jsou souřadnice opět lineárně závislé ; . Při volbě je . To zase reprezentuje vlastní vektor = (3, -4), který má týž směr jako souřadnice v obr.1.
Pokud odstraníme osu a ponecháme osu , je střední kvadratická chyba . Tedy hodnota právě rovná vlastnímu číslu . Podobně při odstranění souřadnicové osy je chyba rovna .