Metriky pro určení vzdálenosti mezi dvěma vektory s kvantitativními hodnotami souřadnic

Tyto metriky dominantně vycházejí z pojmu kontingenční matice, resp. tabulka.

Pokud je kontingenční tabulka rozměru 2 x 2, tj. k = 2, nazýváme ji čtyřpolní tabulkou, slouží ke srovnání dichotomických znaků.

Kromě prostého popisu četností kombinací hodnot dvou znaků a výpočtu vzdáleností, či podobností dvou vektorů hodnot uvedených vlastností, nabízí kontingenční tabulka také možnost testování vztahu mezi oběma hodnotami .

Příklad 5.1:

Předpokládejme, že množina F obsahuje symboly {0, 1, 2}, tj. k = 3 a vektory x a y jsou x = (0, 1, 2, 1, 2, 1) a y = (1, 0, 2, 1, 0, 1), n = 6. Určete kontingenční matici a ukažte, že součet hodnot všech jejích prvků je roven rozměru vektorů.

Řešení:

Kontingenční matice A(x,y) je podle Vysvětlení pojmu 5.1

Součet hodnot všech prvků matice A(x,y) je roven

.

a je tedy týž jako rozměr obou vektorů.     

Jak lze snadno usoudit z uvedeného Vysvětlení pojmu, určitě není náhodná shoda jména s metrikou uvedenou ve Vysvětlení pojmu 3.2 této výukové jednotky.

Pro k = 2, kdy jsou hodnoty obou vektorů binární, se definiční vztah Hammingovy vzdálenosti transformuje na

kde třetí člen v závorce kompenzuje případ, kdy jsou hodnoty x_i i y_i rovny jedné a součet prvních členů v závorce je tím pádem roven dvěma, nicméně nastává shoda hodnot, která k celkové vzdálenosti nemůže přispět. Protože x_i a y_i nabývají hodnot pouze 0 a 1, můžeme také psát

a díky speciálnímu případu hodnot x_i a y_i je možná i nejjednodušší forma

V případě bipolárních vektorů, kdy jednotlivé složky vektorů nabývají hodnot +1 a -1, je Hammingova vzdálenost určena vztahem

Příklad 5.2

Určete Hammingovu vzdálenost vektorů z předchozího příkladu, tj. x = (0, 1, 2, 1, 2, 1) a y = (1, 0, 2, 1, 0, 1).

Řešení:

Vzájemným porovnáním obou vektorů lze určit, že se oba vektory liší v první, druhé a páté souřadnici, to znamená, že se oba vektory liší ve třech pozicích, což definuje hodnotu Hammingovy vzdálenosti obou vektorů, tj . d_HQ(x,y) = 3.

Chceme-li určit tuto vzdálenost z kontingenční matice A(x,y) podle vztahu (37), pak je vzdálenost podle vztahu (38) určena součtem všech prvků matice A(x,y) mimo hlavní diagonálu. Tedy d_HQ(x,y) = a₁₂ + a₂₁ + a₃₁ = 1 + 1 + 1 = 3.     

 

Příklad 5.3

Určete Hammingovu vzdálenost binárních vektorů x = (0, 1, 1, 0, 1) a y = (1, 0, 0, 0, 1).

Řešení:

Podle definičního principu je vzdálenost obou vektorů dána počtem pozic, ve kterých se oba vektory liší, tj. d_HQB(x,y) = 3.

Použijeme-li vztah (39), je d_HQB(x,y) rovna

Podle vztahu (40) je

Konečně, využijeme-li vztah (41), je

       

Příklad 5.4

Určete Hammingovu vzdálenost dvou bipolárních vektorů x = (1, 1, 1, -1, 1) a y = (1, -1, 1, -1, -1).

Řešení:

Podle definičního principu se oba vektory liší ve dvou pozicích, tj. d_HQP(x,y) = 2.

Z kontingenční matice, která je pro tento případ rovna

je d_HQP(x,y) rovna součtu hodnot prvků ležících mimo hlavní diagonálu, tj. d_HQP(x,y) = 2.

Použijeme-li vztah (42), je také