![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Rybolov s konstantním úlovkem za jednotku času
Ryby však nejsou ponechány svému vývoji, jejich populace je využívána. Rybolov můžeme popsat tak, že z populace ryb je pravidelně odstraňován jistý počet jedinců, za jednotku času je vyloveno určité množství ryb. (To si lze například představit tak, že u jezera žijí rybáři, kteří mají pevně daný počet loděk, každý den vyrazí na lov a loví tak dlouho, až své čluny naplní.) Označme množstv
Ryby však nejsou ponechány svému vývoji, jejich populace je využívána. Rybolov můžeme popsat tak, že z populace ryb je pravidelně odstraňován jistý počet jedinců, za jednotku času je vyloveno určité množství ryb. (To si lze například představit tak, že u jezera žijí rybáři, kteří mají pevně daný počet loděk, každý den vyrazí na lov a loví tak dlouho, až své čluny naplní.) Označme množství ryb ulovených za jednotku času; parametr
je kladný. Pak vývoj populace ryb, jejíž velikost byla na začátku rovna hodnotě
je popsán počáteční úlohou pro diferenciální rovnici
|
(12) |
Základní otázkou je, zda rybolov je udržitelný, tj. zda v dostatečně dlouhém časovém horizontu bude populace ryb přežívat nebo ji lov vyhubí.
Rovnice v úloze Základní modely populační dynamiky (12) je Riccatiho a řešíme ji tedy substitucí
|
(13) |
Dosazení do rovnice Základní modely populační dynamiky (12) dává
tj.
Odtud snadnou úpravou dostaneme lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty
|
(14) |
Její charakteristická rovnice je
|
(15) |
Označme Pak
neboť parametry
jsou kladné. Při řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (12) rozlišíme tři případy podle znaménka veličiny
(i) ![](http://is.muni.cz/system/tex2img?code=D%3E0%2C%5C%2C%20%5Ctext%7Btj.%7D%5C%2C%20h%3C%5Cfrac14rK.)
V tomto případě má charakteristická rovnice Základní modely populační dynamiky (15) dva reálné různé kořeny
a protože jsou oba kořeny kladné. Obecné řešení lineární rovnice Základní modely populační dynamiky (14) je
kde
jsou nějaké konstanty. Platí tedy
|
|
Odtud a z transformačního vztahu Základní modely populační dynamiky (13) dostaneme obecné řešení rovnice z úlohy Základní modely populační dynamiky (12) ve tvaru
Konstanty
získáme z počáteční podmínky v úloze Základní modely populační dynamiky (12):
To je jedna rovnice pro dvě neznámé a hodnoty
z ní nelze vypočítat. Lze však určit jejich poměr
|
|
Řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (12) je tedy dáno formulí
|
|
neboť
Nyní můžeme vyšetřovat průběh funkce v závislosti na počáteční hodnotě (parametru)
Pokud je
pak je funkce
kladná pro jakoukoliv hodnotu nezávisle proměnné
a platí
zejména pro je funkce
konstantní,
Rybolov zredukuje velikost populace ryb na hodnotu
Pokud je pak je funkce
konstantní,
Ovšem, pokud je pak pro
je To znamená, že lov ryby vyhubí.
Řešení počáteční úlohy Základní modely populační dynamiky (12) s hodnotou a s různými počátečními hodnotami je zobrazeno na obrázku vlevo nahoře.
|
|
|
|
Obr. 1. Modely rybolovu. Rybolov s konstantním úlovkem za časovou jednotku, tj. řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (12) pro různé hodnoty intenzity lovu h a pro různé počáteční hodnoty |
(ii) ![](http://is.muni.cz/system/tex2img?code=D%3E0%2C%5C%2C%20%5Ctext%7Btj.%7D%20%5C%2Ch%3D%5Cfrac14rK)
V tomto případě má charakteristická rovnice Základní modely populační dynamiky (15) dvojnásobný reálný kladný kořen Obecné řešení lineární rovnice Základní modely populační dynamiky (14) v tomto případě je rovno
Pro toto řešení musí platit jinak by transformace Základní modely populační dynamiky (13) nebyla definována v pravém okolí počáteční hodnoty. Odtud plyne, že
a řešení můžeme upravit na tvar
kde Derivace řešení je rovna
a obecné řešení rovnice z úlohy Základní modely populační dynamiky (12) je
Toto řešení má splňovat počáteční podmínku v úloze Základní modely populační dynamiky (12), takže
Řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (12) je tedy v případě dáno formulí
Pokud je toto řešení kladné pro každé
Zejména pro
je řešení konstantní,
Pokud naopak
je řešení kladné pouze pro
kde
a Řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (12) v případě
pro různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. Základní modely populační dynamiky 1 vpravo nahoře.
V případě je tedy rybolov udržitelný pouze pokud byla počáteční velikost populace ryb alespoň na polovině úživnosti prostředí. V takovém případě rybolov dlouhodobě udržuje velikost populace na hodnotě
neboť
Pokud je počáteční velikost populace ryb menší, lov ryby vyhubí v čase
(iii) ![](http://is.muni.cz/system/tex2img?code=D%3C0%2C%5C%2C%20%5Ctext%7Btj.%7D%5C%2C%20h%3E%5Cfrac14rK)
V tomto případě má charakteristická rovnice Základní modely populační dynamiky (15) komplexně sdružené kořeny
a obecné řešení lineární rovnice Základní modely populační dynamiky (14) je tvaru
kde
jsou konstanty. Jeho derivace je rovna
a řešení rovnice z úlohy Základní modely populační dynamiky (12) podle transformačního vztahu Základní modely populační dynamiky (13) je dáno formulí
|
|
Aby toto řešení splnilo počáteční podmínku v úloze Základní modely populační dynamiky (12), musí platit
tedy
Řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (12) je nyní kladné pouze na intervalu kde
je nejmenší kladné řešení rovnice
tedy
|
|
Pro tedy rybolov nemůže být udržitelný. Řešení úlohy Základní modely populační dynamiky (12) v případě
pro různé počáteční hodnoty je znázorněno na obr. Základní modely populační dynamiky 1 vlevo dole.
Z rozboru řešení modelu Základní modely populační dynamiky (12) plyne, že rybolov může být udržitelný pouze v případě, že není příliš intenzivní a počáteční populace ryb je dostatečně velká, konkrétně když
Maximální udržitelný úlovek je tedy
|
(16) |