![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Model SIRS
Oproti modelu SIR v modelu SIRS předpokládáme, že uzdravení jedinci mohou znovu onemocnět. Vztahy mezi třídami populace jsou uvedeny v tabulce Epidemiologické modely 1. Stejně jako v modelu SIR budeme předpokládat, že velikost populace je neměnná. Podle rozdělení v Modelování rychlostí přechodu můžeme za uvedených předpokladů získat tři základní modely SIRS:
Model SIR, kdy incidence roste lineárně s velikostí populace:
|
(7) |
Model SIR s konstantní incidencí:
|
(8) |
Model SIR s asymptoticky omezenou incidencí:
|
(9) |
kde
a
jsou parametry.
reprezentují okamžitý počet náchylných, infekčních a imunních jedinců v čase, přitom platí
Počáteční podmínky všech modelů budou
|
(10) |
Příklad. Uvažujeme systém Epidemiologické modely (7), Epidemiologické modely (10). Substitucí
dostáváme dvojrozměrný model
(11) s uvedenými počátečními podmínkami. Provedeme kvalitativní analýzu systému Epidemiologické modely (11). Rovnovážné body jsou
a
Aby epidemie vypukla, musí
tedy
odtud
V případě lineární incidence je tedy reprodukční číslo závislé na velikosti populace
Budeme tedy předpokládat nadále splnění této podmínky. Jacobiho variační matice systému je
Pro bod
tedy platí
a vlastní čísla této matice jsou
a
bod
je tedy sedlo. Pro bod
platí
Stopa matice je záporná a determinant je kladný, proto má matice vlastní čísla se zápornou reálnou částí a bod
je stabilní uzel nebo ohnisko.
Fázový portrét systému Epidemiologické modely (11) ukazuje následující obrázek:
Obr. 3. Model průběhu epidemie SIRSEpidemie má typický průběh, nejprve se počet infikovaných zvyšuje, poté se sníží na stabilní hladinu
v případě ohniska je to oscilující konvergence.