![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Základní pojmy
Definice 2.1. Nechť
je řešením úlohy Obyčejné diferencální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) na intervalu
a
je řešením úlohy
Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) na intervalu
,
. Jestliže
a pro každé
je
, řekneme, že řešení
je prodloužením řešení
a že řešení
je zúžením řešení
. Jestliže řešení
úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) není zúžením žádného jiného řešení této úlohy, řekneme, že
je úplným (neprodlužitelným) řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2).
V dalším budeme pod pojmem "řešení" rozumět úplné řešení.
Příklad:
kde
je libovolné číslo, jsou tři různá úplná řešení počáteční úlohy
Definice 2.2. Buď funkce dvou proměnných. Řekneme, že
je obecným řešením rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1), jestliže ke každému
existuje
takové, že
je řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2).
Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1) , Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá partikulární řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Proměnnou
funkce
považujeme za nezávisle proměnnou reálné funkce
jedné reálné proměnné, proměnnou
považujeme za parametr.
Poznámka 2.3. Geometrická interpretace
Rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) přiřazuje každému bodu z
právě jednu hodnotu
, tedy každému bodu
lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě
, tj. přímky
. Tento vektor má souřadnice
. To znamená, že rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) definuje na
vektorové pole1. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Každá integrální křivka rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) je vektorovou čárou2 směrového pole. Směrové pole tedy poskytuje
představu o průběhu řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Vrstevnice funkce
(tj. křivky zadané rovnicí
) se nazývají izokliny rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.
Úlohy k procvičení
1Vektorové pole na množině je zobrazení
množiny
do (konečně rozměrného reálného) vektorového prostoru, tj.
v našem případě je
.
2Vektorová čára vektorového pole
je křivka v
taková, že vektorm
je tečným vektorem k této křivce v bodě
.