Slovník | Vyhledávání | Mapa webu
 
Analýza a modelování dynamických biologických datSpojité deterministické modely I Obyčejné diferenciální rovnice Základní pojmy
Logo Matematická biologie

Základní pojmy

Definice 2.1. Nechť  je řešením úlohy Obyčejné diferencální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) na intervalu  a  je řešením úlohy
Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) na intervalu , . Jestliže  a pro každé  je , řekneme, že řešení  je prodloužením řešení  a že řešení   je zúžením řešení . Jestliže řešení  úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciálné rovnice (2) není zúžením žádného jiného řešení této úlohy, řekneme, že  je úplným (neprodlužitelným) řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2).
 
V dalším budeme pod pojmem "řešení" rozumět úplné řešení.
 

Příklad: 

kde  je libovolné číslo, jsou tři různá úplná řešení počáteční úlohy

 

Definice 2.2. Buď  funkce dvou proměnných. Řekneme, že  je obecným řešením rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1), jestliže ke každému  existuje  takové, že  je řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2).

Proměnnou  funkce  považujeme za nezávisle proměnnou reálné funkce  jedné reálné proměnné, proměnnou  považujeme za parametr.
 
Poznámka 2.3. Geometrická interpretace
Rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) přiřazuje každému bodu z  právě jednu hodnotu , tedy každému bodu  lze přiřadit směrový vektor tečny k integrální křivce v bodě , tj. přímky . Tento vektor má souřadnice . To znamená, že rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) definuje na  vektorové pole1. Toto pole se nazývá směrové pole rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Každá integrální křivka rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1) je vektorovou čárou2 směrového pole. Směrové pole tedy poskytuje
představu o průběhu řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1).
Vrstevnice funkce (tj. křivky zadané rovnicí ) se nazývají izokliny rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (1). Jsou to křivky, na nichž mají vektory ze směrového pole stejný směr.

 

Úlohy k procvičení

 
 
 

1Vektorové pole na množině  je zobrazení  množiny  do (konečně rozměrného reálného) vektorového prostoru, tj.  v našem případě je .

2Vektorová čára vektorového pole  je křivka v  taková, že vektorm  je tečným vektorem k této křivce v bodě .
 
vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity