![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Globální vlastnosti řešení systému ODR
Věta o existenci úplného řešení
Věta 3.1. (o existenci úplného řešení). Nechť funkce je spojitá na otevřené množině
Je-li
řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4), pak je toto řešení buď úplné, nebo existuje úplné řešení
které je prodloužením řešení
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 73-76. Důkaz využívá věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.7.
Věta o globální jednoznačnosti
Věta 3.3. (o globální jednoznačnosti). Nechť funkce je spojitá a lokálně lipschitzovská v
vzhledem k
a nechť funkce
jsou dvě řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4). Jestliže existuje
takové, že
pak
pro všechna
v nichž jsou řešení
definována.
Důkaz. Připusťme, že existuje takové, že
Označme
Funkce jsou spojité (poněvadž jsou diferencovatelné).
Ukážeme, že
Připusťme, že Položme
Pak
K existuje
tak, že pro každé
je
a
Poněvadž pro je
platí pro
nerovnost
což je spor s a tedy
Podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.1 nyní existuje takové, že pro
je
což je spor s předpokladem, že
Analogicky vyloučíme možnost existence takového, že
Definice 3.4. Buď úplné řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) definované na intervalu
kde
Řekneme, že je
-limitní bod řešení
jestliže existuje posloupnost
taková, že
pro všechna
a
-limitní bod řešení
jestliže existuje posloupnost
taková, že
pro všechna
a
- limitní bod řešení
jestliže je
-limitním bodem nebo
-limitním bodem.
Množina všech -limitních bodů řešení
se nazývá
-limitní množina řešení
množina všech
-limitních bodů řešení
se nazývá
-limitní množina řešení
množina všech limitních bodů řešení
se nazývá limitní množina řešení
Příklad.
je úplné řešení rovnice
definované na intervalu
Je-li
pak
je
-limitním bodem tohoto řešení a
-limitní body toto řešení nemá.
Je-li
pak
je
-limitním bodem tohoto řešení a
-limitní body toto řešení nemá.
Je-li
pak
je
- i
-limitním bodem tohoto řešení.
Příklad.
je úplné řešení rovnice
definované na intervalu
Interval
je
-limitní množinou tohoto řešení.
Příklad.
je úplné řešení soustavy rovnic
definované na intervalu
Limitní množina tohoto řešení je
Věta 3.5. Nechť funkce je spojitá na otevřené množině
a
je úplné řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) definované na intervalu
Pak platí:
, nebo
, nebo každý
-limitní bod řešení
leží na hranici
, nebo
, nebo každý
-limitní bod řešení
leží na hranici
Důkaz. Buď úplné řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) definované na intervalu
a buď
jeho
-limitní bod. Kdyby
pak by existovalo okolí
bodu
takové, že
neboť
je otevřená. Podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.7 by existovalo řešení
rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) s počáteční podmínkou
definované na
kde
je vhodné (malé) číslo. Funkce
by byla řešením rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4), které by bylo prodloužením řešení což by byl spor s úplností řešení
Pro -limitní bod se důkaz provede analogicky s využitím „levostranné varianty“ věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.7.
Důsledek 3.6. Nechť
kde
a
a nechť vektorová funkce
je spojitá. Pokud existuje spojitá funkce
taková, že úplné řešení
rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) definované na
splňuje pro každé
podmínku
pak
Důsledek 3.7, Nechť a funkce
je spojitá. Jestliže existuje
takové, že pro každé
platí
pak každé úplné řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) je definováno pro všechna
Důkaz. Buď úplné řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4). Podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 1.1 je
Pro každé pro něž je
definováno, platí
Tvrzení tedy plyne z Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.6, položíme-li
Toto tvrzení umožňuje rozhodnout, zda lze každé řešení rovnice Obyčejné diferenciální rovnice (4) prodloužit do nekonečna, aniž bychom toto řešení znali.
Věta 3.8. Buď otevřená množina a nechť pro každé
je vektorová funkce
spojitá a
Označme
úplné řešení počátečního problému
Jestliže posloupnost funkcí konverguje k funkci
stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině
posloupnost bodů
konverguje k bodu
a počáteční úloha
má jediné úplné řešení definované na intervalu
pak posloupnost funkcí
konverguje k funkci
stejnoměrně na každém intervalu
Důkaz. Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 80-82.
Matematické kyvadlo
Příklad. Matematické kyvadlo je hmotný bod o hmotnosti
zavěšený na nehmotném vlákně délky
na který působí pouze gravitační síla. Lze ho realizovat jako kuličku zavěšenou na niti, přičemž průměr kuličky je zanedbatelný vzhledem k délce niti a hmotnost niti je zanedbatelná vzhledem k hmotnosti kuličky.
Zavedeme souřadný systém podle obrázku tak, že vodorovná osa
směřuje zleva doprava a svislá osa
směřuje shora dolů a kyvadlo je zavěšeno v počátku souřadnic. Označme
výchylku kyvadla od rovnovážné polohy v čase
Poloha hmotného bodu v čase
je dána souřadnicemi
Obr. 3.1.Vektor rychlosti hmotného bodu je derivací jeho polohy podle času, velikost
rychlosti v čase
je euklidovskou délkou tohoto vektoru, tj.
Výška
hmotného bodu nad rovnovážnou polohou
v čase
je rovna
Podle zákona zachování energie je součet kinetické a potenciální energie hmotného bodu konstantní, tj.
přitom
je gravitační konstanta. Do předchozí rovnosti dosadíme vypočítané
a
a dělíme ji konstantou
Dostaneme
Tuto rovnost derivujeme podle času
a upravíme
Dostáváme tedy dvě diferenciální rovnice pro časově proměnnou výchylku kyvadla
(3) Nechť na začátku procesu je výchylka hmotného bodu rovna úhlu
a jeho rychlost, tj. změna výchylky, je nulová (kuličku vychýlíme a pustíme). Dostáváme tak počáteční podmínky
(4) Řešení první z rovnic Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (3) s počáteční podmínkou Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (4) je konstantní funkce
Toto řešení není fyzikálně realistické, neboť hmotný bod pod vlivem gravitační síly nemůže zůstat vychýlený z rovnovážné polohy a nepohybovat se.
Obr. 3.2.Dosavadními úvahami dostáváme model pohybu matematického kyvadla jako počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu
kterou můžeme podle Existence a jednoznačnost řešení systému ODR přepsat jako počáteční úlohu pro systém dvou rovnic prvního řádu
(5) Tuto počáteční úlohu neumíme vyřešit explicitně. Funkci sinus však můžeme vyjádřit jako stejnoměrně konvergentní Maclaurinovu řadu
Označme nyní
Pro
zavedeme vektorové funkce
a body
následujícími formulemi
Funkce
a body
splňují předpoklady věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.8 s
Úloha
(6) je totožná s úlohou Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (5). Poněvadž všechny parciální derivace
jsou ohraničené, je podle tvrzení Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.4 úloha Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (6) jednoznačně řešitelná. To znamená, že řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (5) je stejnoměrnou limitou řešení úloh
(7) Na obrázku 2 je zobrazena první složka řešení (výchylka kyvadla
) několika těchto úloh; nahoře pro počáteční hodnotu
dole pro
Vidíme, že v případě malé počáteční výchylky již první člen posloupnosti dostatečně přesně aproximuje řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (5). V případě velké počáteční výchylky, dokonce maximální možné, je řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (5) dostatečně přesně aproximováno třetím členem posloupnosti řešení úloh Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (7).
Malé kmity matematického kyvadla lze tedy modelovat systémem rovnic
který je ekvivalentní s rovnicí druhého řádu
Věta o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a parametrech
Věta 3.9. (o spojité závislosti řešení na počátečních podmínkách a parametrech). Buď otevřená množina v
a nechť spojitá funkce
je taková, že pro všechna
splňující podmínku
má počáteční problém
právě jedno úplné řešení Pak toto řešení, chápané jako zobrazení
je spojité.
Důkaz. Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 82-83.