![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Autonomní systémy
Budeme uvažovat systém rovnic
|
(1) |
kde je množina s neprázdným vnitřkem a bez izolovaných bodů. Systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic, definiční obor pravých stran
se nazývá fázový (nebo stavový) prostor. V celé kapitole budeme předpokládat, že
je spojitá funkce taková, že počáteční problém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s podmínkou
|
(2) |
má jediné řešení pro každé
Věta 1.1. Je-li řešením úlohy Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), Autonomní systémy a kvalitativní teorie (2), pak pro každé
je
řešením rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou
Je-li
definováno na intervalu
je
definováno na intervalu
Důkaz.
Tato věta ukazuje, že autonomní systémy popisují děje invariantní vzhledem k posunutí v čase. Bez újmy na obecnosti se tedy u autonomních systémů můžeme omezit na počátečními problémy s počáteční podmínkou
|
(3) |
Úplné řešení problému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), Autonomní systémy a kvalitativní teorie (3) definované na intervalu
(přitom platí
) lze interpretovat buďto jako graf zobrazení
nebo jako orientovanou křivku
ve fázovém prostoru
zadanou parametricky. Tuto křivku nazveme trajektorií řešení
Křivku resp.
nazveme pozitivní, resp. negativní, polotrajektorií systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Příklad. Lineární systém
má řešení
![]()
kde
Poněvadž
jsou trajektorie řešení kružnice se středem v počátku.
Věta 1.2. Jsou-li
řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), pak jejich trajektorie buďto splývají, nebo nemají žádný společný bod.
Důkaz. Nechť pro nějaká
Podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.1 je
řešením rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou
Trajektorie řešení
a
zřejmě splývají. Současně ale
je řešením rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou
a z předpokládané jednoznačné řešitelnosti problému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s libovolnou počáteční podmínkou plyne
Dále budeme předpokládat, že úplné řešení Cauchyova problému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), Autonomní systémy a kvalitativní teorie (3) je pro každou počáteční hodnotu definováno na intervalu
Definice 1.3. Bod se nazývá stacionární bod (rovnovážný bod, ekvilibrium, kritický bod, singulární bod, degenerovaná trajektorie) rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), jestliže
Trajektorie rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá cyklus, je-li uzavřenou křivkou.
Trajektorie rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá homoklinická, jestliže existuje stacionární bod
takový, že
Trajektorie
Věta 1.4. Libovolná trajektorie řešení autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je právě jednoho z typů:
- stacionární bod (odpovídá konstantnímu řešením),
- cyklus (odpovídá nekonstantnímu periodickému řešení),
- trajektorie, která sama sebe neprotíná.
Důkaz. Plyne z Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.2.
Autonomní rovnice (autonomní systém na přímce)
Rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) pro tj. rovnice
|
je speciálním případem rovnice se separovanými proměnnými. Podle Rovnice se separovanými proměnnými lze tedy najít její řešení přinejmenším v implicitním tvaru. Často ovšem rozbor stavového prostoru dá názornější představu o průběhu jejího řešení.
Stavovým prostorem autonomní rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4) je interval nebo sjednocení intervalů. Trajektorie může být
|
Přímka, pokud je stavovým prostorem celá množina |
||
|
Polopřímka bez krajního bodu, pokud existuje číslo |
||
|
Vnitřek úsečky, pokud existují čísla V případě
|
||
|
Stacionární bod |
Je-li trajektorií přímka nebo vnitřek polopřímky nebo úsečky, pak je trajektorie orientovaná souhlasně s orientací osy pokud
ve všech bodech této přímky nebo vnitřku polopřímky nebo úsečky. Takovým trajektoriím odpovídají rostoucí řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4). Pokud je zde
pak je trajektorie orientována proti orientaci osy
Nechť je stacionárním bodem rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4) takovým, že existuje jeho pravé ryzí okolí
tak, že
pro
Trajektorie odpovídající řešení rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4) s počáteční podmínkou
směřují ke stacionárnímu, resp. od stacionárního, bodu
pokud
resp.
na intervalu
Analogicky můžeme vyšetřit směr trajektorií nalevo od stacionárního bodu.Nechť nyní
je vnitřní stacionární bod rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (4), tj.
a
Pokud je
pak je tento stacionární bod izolovaný, tj. existuje jeho ryzí okolí, v němž
Je-li přitom
resp.
pak všechny trajektorie začínající v okolí bodu
směřují od stacionárního, resp. ke stacionárnímu, bodu
Definice 1.5. Nechť je stacionární bod autonomního systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Položme
Řekneme, že stacionární bod je hyperbolický, pokud každé vlastní číslo matice
má nenulovou reálnou část. Mají-li všechna vlastní čísla matice
kladnou reálnou část, řekneme, že hyperbolický stacionární
bod je zdroj (source); mají-li všechna vlastní čísla matice
zápornou reálnou část, řekneme, že hyperbolický stacionární bod
je stok (sink).
Homogenní lineární systém s konstantní maticí
se nazývá linearizace systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) ve stacionárním bodě
Matice je vlastně Jacobiho maticí zobrazení
v bodě
proto se někdy používá označení
Tato matice se někdy také nazývá variační matice systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a linearizace tohoto systému se nazývá variační rovnice systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Definice 1.6. Neprázdná podmnožina fázového prostoru
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá
- pozitivně invariantní (invariantní vpřed, forward invariant), jestliže pro každé řešení
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou
platí, že
pro všechna
- negativně invariantní (invariantní vzad, backward invariant), jestliže pro každé řešení
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou
platí, že
pro všechna
- invariantní, je-li současně pozitivně i negativně invariantní.
Poznámka 1.7. Jsou-li množiny pozitivně (resp. negativně) invariantní, pak také množiny
a
jsou pozitivně (resp. negativně) invariantní.
Poznámka 1.8. Libovolná trajektorie systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je invariantní množinou tohoto systému.
Definice 1.9. Nechť a
je nějaká metrika na
ekvivalentní s euklidovskou. Řekneme, že
- množina
atrahuje (přitahuje) množinu
(množina
je atraktorem množiny
), jestliže pro každé řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou
platí, že
- množina
je (globální) atraktor, jestliže
přitahuje
- množina
absorbuje množinu
jestliže
je pozitivně invariantní a ke každému řešení
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou
existuje
takové, že
- množina
je globálně absorbující, jestliže absorbuje množinu
Poznámka 1.10. Nechť je řešením systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou
Pokud množina
je
-limitní množinou řešení
pak je pozitivně invariantním atraktorem množiny
Poznámka 1.11. Trajektorii systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nazveme limitní trajektorií, jestliže existuje množina
taková, že
a
atrahuje množinu
Je-li
navíc cyklem, nazveme ho limitním cyklem.
Poznámk 1.12. Buď Jestliže existují kladné konstanty
takové, že pro každý bod
splňující podmínku
platí
pak množina je globálně absorbující množinou systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).
Důkaz. Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu Připusťme, že existuje řešení
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) takové, že pro všechna
je
Položme
Pak pro všechna
je
neboli
Integrací této nerovnosti v mezích od po
dostaneme
tj.
pro libovolné Odtud plyne, že
což je ve sporu s předpokladem
Množina má neprázdný průnik s libovolnou trajektorií, je tedy neprázdná. Ukážeme, že je navíc pozitivně invariantní. Připusťme, že existuje řešení
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční hodnotou takové, že pro jisté
je
tj.
Položme
Pak takže
je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
Ze spojitosti funkce
a z vlastností suprema plyne, že
a funkce
je v bodě
rostoucí. Avšak
což je spor s faktem, že funkce je v
rostoucí.
Definice 1.13. Systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) se nazývá dissipativní, jestliže existuje ohraničená globálně absorbující množina.
Poznámka 1.14. Je-li systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) dissipativní, pak každé jeho řešení je ohraničené.
Poznámka 1.15. Jestliže existují kladné konstanty
takové, že pro všechna
a všechna
taková, že
platí
Důkaz. Nejprve ukážeme, že každá trajektorie protíná množinu Připusťme, že existuje řešení
systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) takové, že
pro všechna
Pak
pro všechna
a tedy pro libovolné
platí
Integrací této nerovnosti dostaneme takže pro
je což je spor. Každá trajektorie má tedy s množinou
neprázdný průnik, což také znamená, že množina
je neprázdná.
Ukážeme, že množina je navíc pozitivně invariantní. Nechť
je řešením systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou
Připusťme, že existuje
pro něž
Pak
Položme
Pak takže
je neprázdná shora ohraničená množina reálných čísel. Existuje tedy
Ze spojitosti funkce
a z vlastností suprema plyne, že
a funkce
je v bodě
rostoucí. Avšak
|
což je spor s tím, že funkce je v bodě
rostoucí. Pro všechna
je tedy
a množina
je invariantní.
Poznámka 1.16. Nechť ke každému existují kladné konstanty
takové, že pro všechna
z nerovnosti
plyne nerovnost
Pak je systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) dissipativní s globálně absorbující množinou
Důkaz. Položme Pak každá z množin
je podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.12. globálně absorbující množinou a
Podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.7 je množina
pozitivně invariantní. Ukážeme, že je také globálně absorbující.
Buď libovolné řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Podle Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.12 existuje
takové, že
pro všechna
Dále existuje
takové, že pro všechna
je
atd. Nakonec existuje
takové, že
pro všechna
Takže pro všechna
je
tj.