Archimédova úloha
Určete tvar zrcadla, které odráží rovnoběžné světelné paprsky do jediného bodu (ohniska).
Zvolíme souřadnou soustavu tak, aby ohnisko bylo v jejím počátku přicházející paprsky byly rovnoběžné se svislou osou a směřovaly proti její orientaci (kreslete si obrázek 2. Uvažujme přicházející paprsek
který se od zrcadla odráží v libovolném, ale pevně zvoleném bodě
Nechť tvar zrcadla je v okolí tohoto bodu popsán funkcí
přitom samozřejmě
 |
|
Obr. 3.1. K Archimédově úloze: |
Označme resp.
tečnu, resp. normálu, k zrcadlu v bodě
přímku incidentní s odraženým paprskem
vodorovnou přímku procházející bodem
Nechť dále
je úhel, který svírá odražený paprsek s normálou
Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu a tedy
Odtud plyne, že
Dále platí
Poněvadž
je tečnou ke křivce o rovnici
platí
|
|
(10) |
Poněvadž přímky a
jsou kolmé, je
a tedy
|
|
(11) |
Současně
|
|
(12) |
Spojením Některé klasické úlohy (10), Některé klasické úlohy (11) a Některé klasické úlohy (12) dostaneme rovnost
Poněvadž bod byl libovolný, dostáváme pro tvar zrcadla diferenciální rovnici
To je rovnice nerozřešená vzhledem k derivaci. Jedná se však o jednoduchou kvadratickou rovnici pro neznámou derivaci, takže ji můžeme vyjádřit ve tvaru
Pro a
je
viz obrázek 2. Znaménko před odmocninou tedy musí být
. Dostáváme tak diferenciální rovnici pro tvar požadovaného zrcadla
To je rovnice homogenní. Substitucí
dostaneme rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení v implicitním tvaru je
tedy Odtud
kde je integrační konstanta. V původních proměnných dostaneme rovnost
neboli To je rovnice paraboly s ohniskem
a řídící přímkou
Název „Archimédova úloha“ vychází z tradované historky, podle níž Archimédes při obléhání Syrakus armádou římského vojevůdce Marcella v letech 214-212 př. n. l. z vyleštěných štítů obránců města sestavoval zrcadla, kterými soustředil sluneční paprsky a tak zapaloval lodě obléhatelů impregnované smolou.
