Lotkovy-Volterrovy systémy

(1)

Tyto systémy modelují vývoj společenstva (časové změny velikostí jednotlivých populací, z nichž se společenstvo skládá). Neznámé funkce a parametry interpretujeme následovně:

 velikost -té populace

 růstový koeficient izolované -té populace (vnitřní koeficient růstu -té populace)

 -tá populace je soběstačná (producent)

 -tá populace závisí na jiných populacích (konzument)

 koeficient vnitrodruhových vztahů $i$-té populace

 -té populaci se projevuje vnitrodruhová konkurence

 v -té populaci se projevuje vnitrodruhová kooperace

  koeficient vlivu -té populace na -tou

 -tá a -tá populace jsou ve vztahu konkurence

 -tá a -tá populace jsou ve vztahu mutualismu (symbiózy)

 -tá populace je kořistí (hostitelem) -té populace;

-tá populace je predátorem (parazitem) -té populace

 -tá populace je amenzalistou -té populace

 -tá populace je komenzalistou -té populace

Fázový prostor systému Lotkovy-Volterrovy systémy (1) je -rozměrný uzavřený kladný orthant

Příklad. Vztah Lotkových-Volterrových systémů a Verhulstovy logistické rovnice.

Logistickou rovnici

v níž jsou oba parametry (vnitřní koeficient růstu) a (kapacita prostředí pro modelovanou populaci) kladné, lze považovat za jednorozměrný Lotkův-Volterrův systém s a tedy za model soběstačné populace s vnitrodruhovou konkurencí (tak byla Verhulstova rovnice sestavena). Také platí odtud lze usoudit, že pro soběstačnou populaci s vnitrodruhovou konkurencí představuje podíl vnitřního koeficientu růstu a koeficientu vnitrodruhové konkurence kapacitu prostředí neovlivněnou ostatními populacemi společenstva.

Jinou interpretaci logistické rovnice lze získat následující úvahou: Označme

Poněvadž dostaneme

(2)

Jedná se o dvojrozměrný Lotkův-Volterrův systém s parametry

Proměnnou lze interpretovat jako relativní dostupnost zdrojů pro modelovanou populaci vzhledem k celkové kapacitě prostředí  Velikost populace a relativní dostupnost zdrojů jsou tedy ve vztahu predace, obě tyto „složky společenstva“ nejsou ani producenty ani konzumenty a neprojevuje se u nich žádný vnitrodruhový vztah.

Poznamenejme, že systém Lotkovy-Volterrovy systémy (2) nemá izolované stacionární body.

Příklad. Klasický Lotkův-Volterrův model dravec-kořist.

Uvažujme společenstvo jednoho producenta a jednoho konzumenta (jednoho dravce a jeho kořisti). V takovém případě je a systém můžeme psát

(3)

kde populace kořisti se specifickou mírou růstu klesá úměrně velikosti populace predátora. Naopak populace dravce bez přítomnosti kořisti vymírá, specifická míra růstu je tedy avšak přítomnost kořisti ji zvyšuje přímo úměrně. Všechny parametry jsou tedy kladné a platí

Tento systém má v takovém případě stacionární body a v prvním kvadrantu, přičemž první z nich je sedlo, protože vlastní čísla mají opačná znaménka. Netriviální rovnováha je střed. Ukázat to můžeme takto: systém Lotkovy-Volterrovy systémy (3) můžeme přepsat na tvar

neboli

Při označení dostaneme

Bezprostředně vidíme, že tento systém můžeme psát ve tvaru

nebo vektorově

(4)

což je hamiltonovský systém. Jeho hamiltonián (invariant) v původních proměnných je

Řešení jsou proto tvaru

Na tato řešení se můžeme dívat jako na vrstevnice funkce Tato funkce má v celém prvním kvadrantu (otevřeném) negativně definitní matici druhých derivací a funkce má tak uzavřené vrstevnice okolo svého maxima v bodě což je tedy střed. Řešení s různými počátečními podmínkami ukazuje následujíci obrázek.

Obr. 1. Klasický Lotkův-Volterrův model.

Úlohy k procvičení