Model SI

Model SI je nejjednodušším modelem šíření infekčních chorob. Zavedeme označení: velikost populace, počet jedinců, kteří neprodělali chorobu, počet infikovaných jedinců. Jak bylo uvedeno, vzhledem ke krátkému časovému horizontu předpokládáme V modelu SI předpokládáme navíc, že choroba není léčena a infikovaní jedici zůstávají v této skupině. Může jít např. o infekci oparu.

V čase existuje náchylných jedinců a nakažlivých. Budeme uvažovat, že rychlost vzniku nových infekcí je dána součinem kde je v předchozí kapitole uvedená síla infekce. Jde tedy o náhodný přenos infekce. V následujícím modelu budeme uvažovat, že počet kontaktů (incidence) roste lineárně a velikostí populace. Model pak můžeme popsat následujícím systémem diferenciálních rovnic:

(2)

kde je konstanta daná součinem pravděpodobnosti přenosu  infekce náchylné osoby s infikovanou a míry růstu počtu kontaktů v závislosti na velikosti populace. Protože předpokládáme  a platí můžeme systém Epidemiologické modely (2) zjednodušit na tvar

což je ve skutečnosti logistická rovnice. Řešením počáteční úlohy Epidemiologické modely (2),

 jsou proto funkce kde

je funkce velikosti populace infikovaných jedinců a  jejím grafem je logistická křivka, která má inflexní bod

Pokud  budeme sledovat dynamiku epidemie, tedy to, jak se mění počty infikovaných, budeme sledovat graf derivace funkce tj.

Maximum funkce totiž představuje nejvyšší nárůst infikovaných, tedy vrchol epidemie v inflexním bodě křivky infikovaných. Graf funkce se nazývá epidemická křivka.