
Věta o existenci a jednoznačnosti řešení
Věta 1.1: Nechť maticová funkce a vektorová funkce
jsou spojité na intervalu
. Pak má počáteční problém Lineární rovnice (1), Lineární rovnice (2) právě jedno řešení, které existuje na celém intervalu
Důkaz: Vzhledem k Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 2.1 a Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.3 stačí ukázat, že ke každému existuje okolí
takové, že funkce
je Lipschitzovská vzhledem k
na
Je-li vnitřní bod intervalu
, existuje
takové, že
Položme (toto maximum existuje podle druhé Weierstrassovy věty) a
Podle Lineární rovnice (2) je maticová norma souhlasná s vektorovou normou a z toho plyne, že pro každé
a každé dva vektory
platí nerovost
|
|
Je-li pravý krajní bod intervalu
, položíme
a provedeme analogickou úvahu. Pro levý krajní bod intervalu provedeme důkaz podobně.