Základní pojmy teorie her

Definice 1.1. Hra v normálním tvaru pro hráčů je tvořena prostory strategií (ryzích strategií) jednotlivých hráčů a jejich výplatními funkcemi kde každé zobrazuje do Označením budeme rozumět kde

Definice 1.2. Nechť jsou dvě možné strategie -tého hráče. Řekneme, že strategie je striktně dominovaná strategií jestliže pro každou kombinaci strategií ostatních hráčů je výplata -tého hráče při strategii menší než při strategii tj.

Definice 1.3. Strategie tvoří Nashovu rovnováhu, jestliže pro každého hráče je nejlepší odpovědí na strategie ostatních, tedy pro každé  platí

Jinak řečeno, je řešením extremální úlohy

Pokud při eliminaci striktně dominovaných strategií zůstane jediná kombinace strategií, je jedinou Nashovou rovnováhou. Eliminací striktně dominovaných strategií obecně zmenšíme hru a pokud existuje Nashova rovnováha, zůstává mezi zbylými strategiemi menší hry. Avšak Nashova rovnováha v ryzích strategiích nemusí existovat. Navíc pokud existuje nemusí být tzv. pareto-optimální, což znamená, že může existovat strategie s lepší výplatou pro daného hráče přičemž ostatní si nepohorší (tato strategie pak ale není rovnovážná, protože vychýlení z této strategie by bylo pro některého hráče výhodnější). Má smysl zavést také pojem smíšené strategie, která udává pravděpodobnost volby nějaké ryzí strategie. Smíšená strategie je pro každého hráče vektor, jehož -tá složka udává pravděpodobnost, s níž hráč volí -tou strategii ze svého prostoru strategií. Pro smíšené strategie už existenci rovnováhy zaručuje Nashova věta, jejíž důkaz, který se opírá o větu o pevném bodě,  provádět nebudeme.

Definice 1.4. Uvažujme konečnou hru hráčů v normálním tvaru, kde počet prvků prostoru strategií libovolného hráče označíme symbolem Smíšenou strategií hráče se rozumí vektor pravděpodobností kde a 

Věta 1.5. (Nashova) Konečná hra hráčů má v prostoru smíšených strategií alespoň jednu Nashovu rovnováhu.

Definice 1.6. Maticovou symetrickou hrou dvou hráčů rozumíme hru se stejnými konečnými -rozměrnými prostory strategií a symetrickými výplatními funkcemi Výplatní funkci pro smíšené strategie pak zapisujeme pomocí výplatní matice tj. pro

Poznámka 1.7. Množina smíšených strategií symetrické maticové hry je tedy simplex

Smíšená strategie je rovnovážnou strategií maticové symetrické hry s maticí právě tehdy, když pro všechny smíšené strategie platí

Označme ryzí strategie (vektor s -tou nenulovou složkou) a pro smíšenou strategii definujme množinu indexů nenulových pravděpodobností (tzv. nosič, support, píšeme velké S a dvě p, aby se nepletl se supremem). Pak platí následující věta:

Věta 1.8. Smíšená strategie  symetrické maticové hry s maticí je rovnovážná právě tehdy, když

	(1)
	(2)

Důkaz: Nechť  je rovnovážná strategie. Pak platí

Připusťme, že existuje tak, že Pak

což je spor, který dokazuje nutnost podmínek.

Nechť platí podmínky Evoluční dynamika a vývoj vzorců chování (1) a Evoluční dynamika a vývoj vzorců chování (2). Pak pro všechna platí Je-li nyní libovolná smíšená strategie, pak

takže podle  je rovnovážnou strategií. Podmínky jsou tedy i dostatečné.

Důsledek. Ryzí strategie je rovnovážnou strategií hry s výplatní maticí právě tehdy, když pro všechna platí