Struktura řešení lineární homogenní rovnice

Množina všech -vektorových funkcí definovaných a diferencovatelných na intervalu tvoří vektorový prostor nad polem reálných čísel; sčítání vektorů je definováno jako sčítání funkcí, násobení skalárem je definováno jako násobení funkce reálným číslem,

nulový vektor v tomto prostoru je konstantní funkce , kde  označuje nulový vektor v prostoru

Podle principu superpozice věta Lineární rovnice 2.1 je množina všech řešení lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (3) podprostorem tohoto prostoru, neboť  je řešením této rovnice; nazýváme ho triviální řešení.

Řekneme, že funkce z vektorového prostoru diferencovatelných -vektorových funkcí definovaných na intervalu jsou lineárně nezávislé, pokud jsou lineárně nezávislé jakožto vektory, tj. pokud z rovnosti

(4)

plyne rovnost

Lemma 2.2. Nechť maticová funkce je spojitá na intervalu a jsou řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (3). Jestliže existuje  takové, že vektory  jsou lineárně nezávislé, pak vektory  jsou lineárně nezávislé pro každé

Důkaz. Nechť jsou  lineárně nezávislé pro nějaké . Připusťme, že existuje takové, že vektory  jsou lineárně závislé. Pak existují konstanty z nichž aspoň jedna je nenulová a platí

Funkce  je podle principu superpozice věta Lineární rovnice 2.1  řešením lineární homogenní rovnice Lineární rovnice (3) s počáteční podmínkou Avšak řešením této úlohy je konstantní funkce a podle věty Lineární rovnice 1.1 je toto řešení jediné. To znamená, že funkce splňují podmínku Lineární rovnice (4) a proto také platí  což je spor.

Z tohoto tvrzení plyne: Jsou-li funkce  řešením homogenní rovnice Lineární rovnice (3) se spojitou maticí a s počátečními podmínkami takovými, že vektory z prostoru jsou lineárně nezávislé, pak jsou funkce  lineárně nezávislé.

Ve vektorovém prostoru  existuje právě lineárně nezávislých vektorů, které tvoří jeho bázi. Z lemma Lineární rovnice 2.2 tedy dále plyne, že i v prostoru všech řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (3) se spojitou maticí  existuje lineárně nezávislých funkcí  

Lemma 2.3. Nechť maticová funkce  je spojitá na intervalu a jsou lineárně nezávislá řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (3). Pak libovolné řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (3) je lineární kombinací funkcí , tj. tyto funkce tvoří bázi prostoru řešení rovnice Lineární rovnice (3).

Nechť je řešení počáteční úlohy Lineární rovnice (3), Lineární rovnice (2). Vektory tvoří bázi vektorového prostoru  a proto existují konstanty  takové, že

Podle principu superpozice věta Lineární rovnice 1.1 je vektorová funkce  řešením rovnice Lineární rovnice (3). Toto řešení splňuje počáteční podmínku Lineární rovnice (2). Podle věty Lineární rovnice 1.1 je tento problém jednoznačně řešitelný, takže

Věta 2.4. Je-li maticová funkce , spojitá, pak množina všech řešení rovnice Lineární rovnice (3) tvoří -rozměrný vektorový prostor.

Definice 2.5. Libovolná báze prostoru všech řešení lineární homogenní rovnice Lineárni rovnice (3) se nazývá fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (3).

Nechť funkce  tvoří fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (3). Obecné řešení této rovnice je jejich lineární kombinace

Označme 

Matice se nazývá fundamentální matice řešení systému Lineární rovnice (3).  Z lineární nezávislosti vektorových funkcí plyne, že sloupce fundamentální matice jsou lineárně nezávislé pro každé  To znamená, že matice je regulární, pro každé 

Obecné řešení rovnice Lineární rovnice (3) lze nyní zapsat ve tvaru

Symbolem označme -tici konstant takových, že funkce je řešením počátečního problému Lineární rovnice (3), Lineární rovnice (2). Z rovnosti pak plyne, že Řešení počáteční úlohy Lineární rovnice (3), Lineární rovnice (2) tedy můžeme psát ve tvaru

Pro fundamentální matici  řešení systému Lineární rovnice (3) zřejmě platí Fundamentální matici řešení systému Lineární rovnice (1) tedy můžeme definovat jako regulární maticovou funkci, která je řešením maticové diferenciální rovnice

(5)

Věta 2.6. Nechť maticová funkce a vektorová funkce jsou spojité na intervalu Pak obecné řešení  vektorové rovnice Lineární rovnice (1) je součtem obecného řešení přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (3) a nějakého partikulárního řešení nehomogenní rovnice Lineární rovnice (1),

kde je fundamentální matice řešení rovnice Lineární rovnice (3) a je libovolné řešení rovnice Lineární rovnice (1).

Řešení počátečního problému Lineární rovnice (1), Lineární rovnice (2) je dáno vztahem

kde pro konstantní vektor platí

Důkaz. Funkce  je řešením rovnice Lineární rovnice (1), neboť podle Lineární rovnice (5) platí

Dále platí

Úlohy k procvičení