Obecné řešení

Jsou-li , různé vlastní hodnoty matice   a , jsou  příslušné vlastní vektory, pak jsou lineárně nezávislá řešení rovnice Lineární rovnice (7).

Důkaz. Tvrzení plyne z předchozího výpočtu a faktu, že vlastní vektory příslušné k různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. 

 Je-li $lambda$ vlastní hodnota matice ,  příslušný vlastní vektor, přičemž  je -násobným kořenem charakteristického polynomu pak funkce

jsou pro  vhodné vektory  řešením rovnice Lineární rovnice (7).

Důkaz ukážeme pro V případě vyšší násobnosti kořene charakteristické rovnice lze postupovat analogicky. 

Nechť  je dvojnásobný kořen charakteristického polynomu. Buď  diferencovatelná (a tedy spojitá) maticová funkce definovaná na okolí nuly taková, že ,  je pro každé   z definičního oboru funkce jednoduchým kořenem charakteristického polynomu matice a existuje jednoduchý kořen charakteristického polynomu, pro nějž platí

(Matici  nepatrně porušíme tak, aby se dvojnásobný kořen rozdělil na dva  různé jednoduché.)

Označme (resp. ) vlastní vektor matice příslušný k vlastní hodnotě (resp. ). Z diferencovatelnosti funkce  plyne  podle věty o diferencovatelnosti implicitně zadané funkce (sr.  Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných.  MU, Brno 1999, 8.1) diferencovatelnost funkcí a zejména tedy existence limit

Rovnice má podle předchozí úvahy řešení a a podle principu superpozice Lineární rovnice 2.1 také řešení

Poněvadž

plyne z věty o spojité závislosti řešení na parametrech Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.9, že rovnice Lineární rovnice (7) má řešení

při výpočtu limity bylo využito de l'Hospitalovo pravidlo. Označíme-li nyní

dostaneme tvrzení.

Má-li rovnice Lineární rovnice (7) komplexní řešení  kde a jsou reálné vektorové funkce, a řešení je lineárně nezávislé na libovolném nenulovém reálném řešení této rovnice, pak  a  jsou lineárně nezávislými reálnými řešeními rovnice Lineární rovnice (7).

Důkaz. Platí

Porovnáním reálných a imaginárních částí této rovnosti dostaneme, že funkce  a  jsou řešeními rovnice Lineární rovnice (7).

Kdyby vektorové funkce  a  byly lineárně závislé, tj. , pak by   a řešení by bylo násobkem reálného nenulového řešení . To by byl spor s předpokladem tvrzení.