
Ciolkovského rovnice
Pohyb rakety budeme popisovat v souřadné soustavě takové, aby na raketu nepůsobily žádné vnější síly (tedy v beztížném stavu). Nechť v čase se raketa pohybuje rychlostí
V čase
se zažehne palivo, které rovnoměrně shoří za čas
a v podobě plynů proudí z trysky na zádi rakety rychlostí
vzhledem k raketě. Úlohou je určit rychlost rakety po provedení popsaného manévru, tedy její rychlost v čase
Označme
Předpoklad o rovnoměrném hoření paliva zapíšeme rovností
|
(3) |
Rychlost neznáme. Budeme však o ní předpokládat, že je spojitě diferencovatelnou funkcí svého argumentu (času). Hybnost rakety se zbývajícím palivem v čase
je
|
(4) |
Uvažujme krátký časový interval Během něho shoří palivo o hmotnosti
|
(5) |
Rychlost vytékajících plynů v souřadné soustavě, v níž pohyb popisujeme, je v čase rovna
a v průběhu intervalu se mění v rozmezí od této hodnoty po hodnotu
Hybnost vyhořelého paliva vytrysklého v uvažovaném časovém intervalu proto vyjádříme jako
|
(6) |
kde je integrální průměr vytékajících plynů v časovém intervalu délky
tj.
Podle první věty o střední hodnotě integrálního počtu existuje číslo takové, že
takže S využitím této rovnosti a rovnosti Některé klasické úlohy (5) vyjádříme hybnost Některé klasické úlohy (6) vytékajícího plynu výrazem
|
(7) |
Hybnost rakety v čase je vzhledem k Některé klasické úlohy (3) rovna
|
|
Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě platí
kde Dosazením této rovnosti do předchozí dostaneme
|
(8) |
|
Souhrnná hybnost rakety a vyhořelého paliva je v čase rovna
Odtud a z Některé klasické úlohy (7), Některé klasické úlohy (8) dostaneme
Limitním přechodem a jednoduchou úpravou vyjádříme derivaci hybnosti soustavy rakety s palivem ve tvaru
Podle zákona o zachování hybnosti je takže s využitím rovnosti Některé klasické úlohy (3) dostaneme diferenciální rovnici pro neznámou funkci
ve tvaru
Na její pravé straně se nevyskytuje hledaná funkce stačí tedy integrovat obě strany rovnice v mezích od
po
S využitím počáteční podmínky
dostaneme
|
|
Zejména pro máme
|
(9) |
Tato formule se nazývá Ciolkovského rovnice.
Rovnici Některé klasické úlohy (9) odvodil William Moore ve výzkumné zprávě A Treatise on the Motion of Rockets pro Royal Military Academy, Woolwich, England, v roce 1813. Tato práce byla zapomenuta a nezávisle na ní rovnici objevil roku 1898 Konstantin Eduardovič Ciolkovskij. S její pomocí v článku
Циолковский, К. Е. Изследование мировых пространств реактивными приборами. Научное обозръниe. 1903, годъ X, No.5
zdůvodnil, že rakety mohou létat naprosto nezávisle na okolním prostředí, a proto mohou být vhodným prostředkem pro lety do vesmíru.