Autonomní systémy v rovině 2

Věta 2.3. Uvažujme autonomní systém

(8)

kde   jsou funkce dvou proměnných spojité v okolí počátku. Nechť a nechť existuje takové, že

Je-li bod  uzlem nebo ohniskem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6), pak je stejného typu i pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8). 

Je-li bod  středem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6), pak je bodem rotace nebo ohniskem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).

Je-li bod  sedlem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6) a funkce   mají spojité parciální derivace podle obou proměnných v okolí počátku, pak je  sedlem i pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).

Důkaz. P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-London-Sydney 1964, kap. VIII.

Důsledek 2.4. (metoda linearizace). Nechť je stacionárním bodem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5) (tj. ) a funkce mají spojité druhé parciální derivace podle obou proměnných v okolí bodu  Označme

a nechť

Pak je bod  uzlem, ohniskem nebo sedlem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5), je-li počátek stacionárním bodem stejného typu pro lineární homogenní systém

(9)

Je-li počátek středem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (9), je bod  buďto ohniskem nebo bodem rotace pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5).

Důkaz. Podle Taylorovy věty pro funkce dvou proměnných (sr. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, 5.2) existuje okolí stacionárního bodu  takové, že ke každému existuje číslo tak, že platí

kde jsme symbolem označili Taylorův zbytek v uvedeném tvaru.

Ze spojitosti druhých parciálních derivací funkce a z druhé Weierstraßovy věty plyne, že existuje konstanta taková, že pro všechna platí

Analogicky ukážeme, že existuje konstanta a funkce takové, že na okolí stacionárního bodu  platí

Nyní budeme vyšetřovat průběh malých odchylek řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5) od stacionárního bodu  tj. zavedeme nové neznámé funkce

(jinak lze říci, že posuneme stacionární bod  do počátku.) Funkce jsou řešením autonomního systém tvaru

Pro funkce platí nerovnost kde Pro libovolné nyní dostaneme

a tvrzení plyne z věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 2.3.

S použitím terminologie zavedené v Autonomní systémy a kvalitativní teorie 1.5 můžeme část tohoto tvrzení přeformulovat: Je-li  hyperbolický stacionární bod systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5), pak je stejného typu jako stacionární bod  linearizace tohoto systému ve stacionárním bodě 

Věta 2.5. (Dulacovo kritérium). Nechť funkce jsou spojitě diferencovatelné na a existují jednoduše souvislá otevřená množina a spojitě diferencovatelná funkce  tak, že výraz

je pro všechna nezáporný nebo je pro všechna  nekladný, přičemž množina má míru . Pak v množině neexistuje cyklus systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5).

Důkaz. Připusťme, že existuje cyklus rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5) a nechť jeho parametrické vyjádření je

přitom funkce vyjadřují -periodické řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5), tedy

Předpokládejme, že křivka je orientována kladně a má tvar oválu, tj. existují na ní právě dva body, v nichž je tečna rovnoběžná s osou a právě dva body, v nichž je tečna rovnoběžná s osou . Označme množinu ohraničenou křivkou průmět množiny na osu hodnotu parametru pro niž nejmenší kladné číslo pro něž Dále zavedeme funkce resp. takové, že jejich graf na intervalu  splývá s dolním, resp. horním, obloukem křivky   Pak

OBRAAAZOOL dulac.eps

Z předpokladů věty a obecných vlastností integrálu plyne, že

(10)

Podle Fubiniovy věty nyní platí

V integrálech zavedeme substituci tedy 

kde označuje křivkový integrál z funkce přes uzavřenou křivku Analogicky ukážeme, že

Pokud by na křivce existovalo bodů, v nichž je tečna rovnoběžný s osou rozdělili bychom interval na subintervalů takových, že na každém z nich oblouk křivky splyne s grafem nějaké funkce proměnné

Důsledek 2.6. (Bendixsonovo kritérium). Nechť funkce jsou spojitě diferencovatelné na a existuje jednoduše souvislá otevřená množina tak, že výraz

je pro všechna nezáporný nebo je pro všechna nekladný, přičemž množina, na níž je tento výraz nulový má míru 0. Pak v množině neexistuje cyklus systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5).

Věta 2.7. (Poincaré [1854-1912]-Bendixson [1861-1935]). Jestliže rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) má trajektorii která je ohraničená a její uzávěr neobsahuje stacionární body rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5), pak existuje cyklus rovnice Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5), který leží v

Úlohy k procvičení