![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Autonomní systémy v rovině 2
Věta 2.3. Uvažujme autonomní systém
|
(8) |
kde
jsou funkce dvou proměnných spojité v okolí počátku. Nechť
a nechť existuje
takové, že
Je-li bod uzlem nebo ohniskem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6), pak je stejného typu i pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).
Je-li bod středem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6), pak je bodem rotace nebo ohniskem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).
Je-li bod sedlem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (6) a funkce
mají spojité parciální derivace podle obou proměnných v okolí počátku, pak je
sedlem i pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (8).
Důkaz. P. Hartman: Ordinary Differential Equations. John Willey&Sons, New York-London-Sydney 1964, kap. VIII.
|
(9) |
Je-li počátek středem pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (9), je bod buďto ohniskem nebo bodem rotace pro systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (5).
|
|
|
kde jsme symbolem označili Taylorův zbytek v uvedeném tvaru.
Analogicky ukážeme, že existuje konstanta a funkce
takové, že na okolí stacionárního bodu
platí
|
a tvrzení plyne z věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 2.3.
Předpokládejme, že křivka Dále zavedeme funkce |
OBRAAAZOOL dulac.eps |
Z předpokladů věty a obecných vlastností integrálu plyne, že
|
(10) |
Podle Fubiniovy věty nyní platí
|
|
V integrálech zavedeme substituci tedy
|
|
|
kde označuje křivkový integrál z funkce
přes uzavřenou křivku
Analogicky ukážeme, že