Existence a jednoznačnost řešení systému ODR
V tomto oddílu se budeme zabývat úlohou Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5).
Lemma 1.1. Buď funkce spojitá na Funkce je řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5) na intervalu právě tehdy, když pro každé je a
|
(1) |
Důkaz.
„“ |
Nechť je řešením úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5) na Pak na Integrací této rovnosti podle v mezích dostaneme: a vzhledem k Obyčejné diferenciální rovnice (5) funkce splňuje Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (1). |
„“ |
Nechť funkce splňuje Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (1). Pak tedy je splněna podmínka Obyčejné diferenciální rovnice (5). Derivováním Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (1) podle dostaneme Obyčejné diferenciální rovnice (4). |