![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty
|
Řešení hledáme ve tvaru Pak
a tedy
|
Poněvadž pro všechna
můžeme rovnici touto funkcí vykrátit. Dostaneme
|
Rovnice Lineární rovnice (19) se nazývá charakteristická rovnice lineární diferenciální rovnice Lineární rovnice (18).
Speciální případ ![](http://is.muni.cz/system/tex2img?code=n%3D2)
Řešíme rovnici druhého řádu
|
kde
jsou reálné parametry. Charakteristická rovnice této diferenciální rovnice
|
má kořeny
Rozlišíme tři možnosti:
(i) ![](http://is.muni.cz/system/tex2img?code=a%5E2%3E4b)
V tomto případě má charakteristická rovnice Lineární rovnice (21) dva reálné různé kořeny
Funkce
jsou řešením diferenciální rovnice Lineární rovnice (20). Wronskián těchto funkcí je
To znamená, že funkce
tvoří fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (20).
(ii) ![](http://is.muni.cz/system/tex2img?code=a%5E2%3C4b)
Označme
pak Charakteristická rovnice Lineární rovnice (21) má komplexně sdružené kořeny
Komplexní funkce
jsou řešením diferenciální rovnice Lineární rovnice (20). Podle principu superpozice věta Lineární rovnice 2.1 jsou také reálné funkce
řešením této diferenciální rovnice. Jejich derivace jsou
takže pro jejich wronskián platí
|
|
|
|
Funkce
jsou lineárně nezávislé, tvoří tedy fundamentální systém řešení a obecné řešení rovnice Lineární rovnice (20) je
kde
jsou konstanty. Pokud je řešení netriviální, je alespoň jedna z nich nenulová a platí
a proto existuje číslo takové, že
Označme nyní Obecné řešení rovnice Lineární rovnice (20) přepíšeme do tvaru
|
Poznamenejme, že v tomto tvaru řešení je zahrnuto i řešení triviální
(iii) ![](http://is.muni.cz/system/tex2img?code=a%5E2%3D4b)
V tomto případě je diferenciální rovnice tvaru
|
a její charakteristická rovnice má jeden dvojnásobný kořen Jedno řešení diferenciální rovnice Lineární rovnice (22) je tedy funkce
Spolu s rovnicí Lineární rovnice (22) uvažujme pomocnou rovnici
|
Její charakteristická rovnice
má dva reálné různé kořeny Pomocná rovnice Lineární rovnice (23) má tedy podle výsledku (i) fundamentální systém řešení
Podle principu superpozice má lineární rovnice Lineární rovnice (23) také řešení
Poněvadž levá strana strana rovnice Lineární rovnice (22) je limitou levé strany pomocné rovnice Lineární rovnice (23) pro lze očekávat, že také funkce
bude v limitě
řešením původní rovnice Lineární rovnice (22). S využitím de l'Hospitalova pravidla dostaneme
Ověříme, že funkce je skutečně řešením rovnice Lineární rovnice (22). Platí
takže
a funkce je řešením rovnice Lineární rovnice (22). Wronskián funkcí
je
Funkce
jsou lineárně nezávislá řešení rovnice Lineární rovnice (22), tvoří tedy její fundamentální systém řešení.
Rovnice obecného řádu
Řešení rovnice Lineární rovnice (18) řádu je přímým zobecněním předchozího speciálního případu.
Lemma 6.1. Pokud je
-násobný kořen charakteristické rovnice, pak funkce
jsou řešení rovnice Lineární rovnice (18).
Důkaz. Označme a
pravou stranu charakteristické rovnice Lineární rovnice (19). Poněvadž
je
-násobný kořen charakteristické rovnice, platí
Funkce
vyjádříme ve tvaru
dosadíme je do pravé strany rovnice Lineární rovnice (18) a upravíme s využitím Leibnizovy formule pro vyšší derivace součinu funkcí. Dostaneme
|
|
|
|
podle Lineární rovnice (24). Funkce tedy splňují rovnici Lineární rovnice (18).
Lemma 6.2. Nechť jsou všechny navzájem různé kořeny charakteristické rovnice Lineární rovnice (19), přičemž kořen
je
-násobný,
Pak funkce
|
|
tvoří fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (18).
Důkaz. Každá z funkcí je řešením rovnice Lineární rovnice (18) podle lemma Lineární rovnice 6.1. Stačí tedy dokázat jejich lineární nezávislost, tj. ukázat, že jejich wronskián
je nenulový pro všechna . Připusťme, že existuje
že
Pak podle lemma Lineární rovnice 2.2 je
pro všechna
. Wronskián má lineárně závislé řádky a tedy existují konstanty
mezi nimiž je alespoň jedna nenulová, takové že
pro všechna
Pro a
-krát diferencovatelnou funkci
nyní položíme
Pak je polynom stupně nejvýše
Pro funkci
a pro libovolné
platí
|
Zejména pro dostáváme
To znamená, že je kořenem
-té derivace polynomu
pro každé
tedy
je
-násobným kořenem polynomu
Analogicky ukážeme, že je
-násobným kořenem polynomu
pro všechna
Polynom
tedy musí být stupně alespoň
a to je spor.
Lemma Lineární rovnice 6.2 umožňuje zkonstruovat fundamentální systém řešení lineární rovnice Lineární rovnice (18). Mezi jeho prvky však mohou být i komplexní funkce, neboť polynom na levé straně charakteristické rovnice Lineární rovnice (19) může mít komplexně sdružené kořeny. Popíšeme, jak komplexní funkce z fundamentálního systému nahradíme lineárně nezávislými reálnými funkcemi.
Nechť je
-násobný komplexní kořen charakteristické rovnice Lineární rovnice (19). Pak také komplexně sdružené číslo
je
-násobným kořenem charakteristické rovnice a ve fundamentálním systému řešení z lemma Lineární rovnice 6.2 jsou funkce
Bez újmy na obecnosti můžeme funkce z fundamentálního systému přečíslovat tak, že
Lemma 6.3. Nechť je fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (18) popsaný předchozí konstrukcí. Položme
Pak funkce tvoří fundamentální systém řešení rovnice Lineární rovnice (18).
Důkaz. Funkce
jsou řešením rovnice Lineární rovnice (18) podle principu superpozice Lineární rovnice 2.1. Ukážeme, že funkce
jsou lineárně nezávislé.
Položme
Pak
a pro wronskián funkcí platí
|
Závěr
Každému reálnému -násobnému kořenu
charakteristické rovnice Lineární rovnice (19) odpovídá
řešení
diferenciální rovnice Lineární rovnice (18) a každé dvojici -násobných nereálných kořenů
charakteristické rovnice Lineární rovnice (19) odpovídá
reálných řešení
diferenciální rovnice Lineární rovnice (18). Množina řešení odpovídající všem kořenům charakteristické rovnice Lineární rovnice (19) tvoří fundamentální systém řešení homogenní lineární diferenciální rovnice -tého řádu s konstantními koeficienty Lineární rovnice (18).