
Model SIR
Oproti modelu SI v modelu SIR předpokládáme, že uzdravení jedinci již získávají vůči dané nemoci imunitu (alespoň dočasnou), viz diagram v tabulce Epidemiologické modely 1. Stejně jako v modelu SI budeme předpokládat, že velikost populace je neměnná. Podle rozdělení v Modelování rychlostí přechodu můžeme za uvedených předpokladů získat tři základní modely SIR:
Model SIR, kdy incidence roste lineárně s velikostí populace:
|
(3) |
Model SIR s konstantní incidencí:
|
(4) |
Model SIR s asymptoticky omezenou incidencí:
|
(5) |
kde a
jsou parametry uvedené v předchozí podkapitole.
reprezentují okamžitý počet náchylných, infekčních a imunních jedinců v čase, přitom platí
Počáteční podmínky všech modelů budou
|
(6) |
Epidemiolog potřebuje odpovědi na následující otázky. Bude epidemie šířit a jak rychle? Kdy dojde k vrcholu epidemie a jak dlouho epidemie potrvá? Kolik jedinců nakonec onemocní a kolik ne? Jak nejefektivněji předpokládané stavy snížit? Modelové řešení těchto problémů si ukážeme na modelu SIR Epidemiologické modely (4) s konstantní incidencí.
Příklad. Uvažujeme tedy systém Epidemiologické modely (4), Epidemiologické modely (6). Epidemie se začne šířit v okamžiku, kdy
Protože
a na počátku je
začne se epidemie šířit, pokud
Zavádí se poměr
který se označuje jako základní reprodukční číslo. Toto číslo vyjadřuje průměrný počet sekundárních infekcí vzniklých tím, že se jeden infikovaný jedinec dostane do plně náchylné populace, protože sekundární infekce jsou dány součinem průměrné doby trvání nemoci
a počtu nakažených za jednotku času
Pokud je
infekce se bude šířit. Pro představu uvedeme odhady základních reprodukčních čísel pro některé nemoci:
Tab. 2. Odhady základních reprodukčních číselSystém Epidemiologické modely (4), Epidemiologické modely (6) budeme analyzovat kvalitativně. Rovnovážné stavy splňují
![]()
a
Přitom
Pro rovnovážný stav tedy nutně platí
Zřejmě všechny body této křivky jsou také rovnováhami. Nejde tedy o izolované hyperbolické rovnovážné body, nemůžeme proto použít metodu linearizace. Uvažujme ale takto: mimo rovnovážné body pro
platí
počet náchylných jedinců tedy klesá a můžeme označit
Dále také
tedy i
má limitu
pro
Existuje tedy nutně i limita
a
Proto
Epidemie má tedy takový průběh, že se nejprve počet infikovaných zvyšuje, ale poté musí klesnout limitně k nule. Navíc z první a třetí rovnice systému Epidemiologické modely (4) dostáváme pro počet náchylných jedinců
kde
je konstantní. Pro řešení této rovnice (počet náchylných v závislosti na uzdravených) platí
Pokud by tomu tak nebylo, tedy pokud by platilo
pak také
a
což je stav, který neopovídá našemu předpokladu počátečního vstupu infekčních osob do zdravé populace. I kdybychom tuto situaci uvažovali (plně infikovaná populace), je tento stav nestabilní, protože
a počet uzdravených se rychle zvyšuje. Vždy jsou tedy v populaci jedinci, kteří nejsou infikovaní.
Průběh
![]()
a
ukazuje obrázek
Počáteční rychlost růstu epidemie určuje
Čím větší je základní reprodukční číslo
tím rychlejší nástup epidemie má. Na vrcholu epidemie platí
proto
Navíc
což je separovatelná rovnice, jejíž řešení je
Uvažujeme-li tedy na počátku zdravou populaci, je pro
a odtud dostáváme partikulární řešení tvaru
Na vrcholu epidemie je
a počet infikovaných proto bude
Podobně bychom mohli pokračovat a vypočítat, kdy dojde k vrcholu epidemie, kolik nemocných celkem onemocní apod. Toto už necháme na čtenáři.