![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Základní vlastnosti Laplaceovy transformace
Věta o linearitě přímé Laplaceovy transformace
Věta 2.1. Nechť jsou předměty standardního typu a
jejich obrazy,
Nechť dále
jsou libovolné komplexní konstanty. Potom pro všechna komplexní
pro která jsou definovány současně všechny obrazy
platí
Důkaz. Plyne z linearity integrálu.
Věta o posunutí v obrazu
Věta 2.2. Nechť je předmět standardního typu,
Nechť
je komplexní konstanta. Potom
Důkaz.
s tím, že se samozřejmě mění oblast konvergence tohoto integrálu o uvedené posunutí.
Věta o derivaci obrazu
Věta 2.3. Nechť je předmět standardního typu,
Potom
obecněji platí
Důkaz.
Analogicky dostaneme vyšší derivace.
Věta o integraci obrazu
Věta 2.4. Nechť je předmět standardního typu s indexem růstu
Nechť také funkce
má v bodě
konečnou limitu zprava. Potom
Důkaz.
Věta o změně měřítka
Věta 2.5. Nechť je předmět standardního typu,
Nechť
je kladná konstanta. Potom také funkce
je předmětem standardního typu a platí
Obdobně ovšem platí
Důkaz. Užitím substituce
Věta o obrazu derivace
Věta 2.6. Nechť funkce a její derivace
jsou předměty standardního typu a nechť funkce
je spojitá v otevřeném intervalu
a
Označme
Pak platí
Důkaz. Užitím metody per partes.
Příklad 2.7. Odvodíme vzorec pro Laplaceův obraz druhé derivace dané funkce.
Za předpokladů předchozí věty platí
Označme
Nechť funkce
také splňuje předpoklad věty o obrazu derivace, tj. nechť
i
jsou předměty standardního typu a funkce
je spojitá pro všechna
Potom ovšem
kde
Dosadíme-li do poslední rovnice
a označíme-li
dostaneme
Tento vzorec pro obraz druhé derivace platí za předpokladu, že
![]()
a
jsou předměty standardního typu a že
i
jsou spojité pro všechna
Věta o obrazu n-té derivace
Věta 2.8. Nechť je přirozené číslo. Nechť funkce
a všechny její derivace až do
-tého řádu včetně jsou předměty standardního typu. Nechť dále funkce
a všechny její derivace až do řádu
včetně jsou spojité pro všechna
Označme
pro kde nultá derivace představuje původní funkci, tj.
Veličiny
nazveme počátečními hodnotami funkce a jejích derivací. Potom platí
Důkaz. Úplnou matematickou indukcí a použitím předchozí věty.
Věta o obrazu integrálu
Věta 2.9. Nechť je předmět standardního typu označme
Potom
Důkaz. Přímým dosazením.
Věta o translaci
Věta 2.10. Nechť je předmět standardního typu. Nechť
je nezáporná konstanta. Potom
Důkaz. Přímým dosazením.
V předpokladech věty je již obsaženo, že funkce je nulová pro všechna záporná
a že tedy funkce
je nulová pro všechna
Protože však tato okolnost je velice důležitá, bývá užitečné zapamatovat si větu o translaci ve znění, které to lépe zdůrazňuje:
Do této rovnice můžeme za dosadit libovolnou funkci po částech spojitou a exponenciálního řádu.
Věty o translaci se často používá k sestrojení obrazů konečných impulsů. Konečným impulsem nazýváme předmět standardního typu, který se rovná nule pro (
je trváním impulsu). Jde tedy o funkci, která může nabývat hodnot různých od nuly jen v intervalu
Pak platí, že