Převedení systému lineárních diferenciálních rovnic na rovnici vyššího řádu

Také můžeme naopak systém lineárních diferenciálních rovnic převést narovnici vyššího řádu.

Uvažujme systém dvou rovnic

(14)

o funkcích předpokládáme, že jsou definovány na nějakém intervalu a jsou na něm diferencovatelné. V případě, že existuje takové, že , je funkce na nějakém podintervalu intervalu nenulová. Pro z první rovnice vyjádříme druhou složku

(15)

a dosadíme ji do druhé rovnice:

(16)

První z rovnic Lineární rovnice (14) zderivujeme

za dosadíme Lineární rovnice (15) a za dosadíme Lineární rovnice (16). Dostaneme

První složka řešení systému Lineární rovnice (14) je tedy na intervalu řešením rovnice druhého řádu

jeho druhá složka je pak dána rovností Lineární rovnice (15).

V případě konstantních funkcí a funkcí   identicky rovných nule (homogenního systému s konstantní maticí), dostaneme rovnici

(17)

Povšimněme si, že charakteristický polynom konstantní matice

je

jeho koeficienty jsou tedy shodné s koeficienty na levé straně rovnice Lineární rovnice (17).

Analogicky lze postupovat u systémů rovnic.