
Odhady řešení
Definice 4.1. Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá maximální řešení, jestliže pro každé řešení
této úlohy platí
pro všechna
v nichž jsou obě řešení definována.
Řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (1), Obyčejné diferenciální rovnice (2) se nazývá minimální řešení, jestliže pro každé řešení
této úlohy platí
pro všechna
v nichž jsou obě řešení definována.
Příklad. Uvažujme počáteční úlohu
|
(8) |
Přímým výpočtem ověříme, že kterákoliv z funkcí
kde
![]()
jsou nezáporné konstanty, je jejím úplným řešením. Minimální a maximální řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (8) tedy jsou funkce
řešení je znázorněno na obrázku 3.3 a).
Věta 4.2. (srovnávací). Nechť
Nechť dále
je spojitá funkce a
je spojitá funkce taková, že
pro
Buď
a
maximální řešení úlohy
na intervalu
Pak každé úplné řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5) je definováno pro všechna a platí
Důkaz. Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 2001, str. 91.
a)
|
b)
|
Obr. 3.3. a) Maximální a minimální řešení počáteční úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (8). b) Odhady řešení |
Příklad. Najdeme odhad řešení počátečního problému
|
(9) |
na intervalu
Pravou stranu rovnice můžeme chápat jako funkci jedné proměnné
s jedním parametrem
Standardními metodami diferenciálního počtu najdeme globální maximum a minimum této funkce; konkrétně, pro každé
platí
Odtud plyne že
Počáteční úloha
má podle ref{rovprimfce} jediné řešení
a podle srovnávací věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 platí
pro všechna
Řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) pro
lze odhadnout i jiným způsobem. V takovém případě totiž platí
Jediné řešení počáteční úlohy
pro nehomogenní lineární rovnici je podle ref{elreslinrov} rovno
a podle srovnávací věty Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 platí
pro všechna
Poznamenejme ještě, že nelze říci, že by některý z uvedených odhadů
![]()
řešení úlohy Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic (9) byl lepší než druhý. Situace je znázorněna na obrázku 3.3 b).
Důsledek 4.3. Nechť symboly mají stejný význam jako v Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2. Nechť funkce
je spojitá a nechť existuje spojitá funkce
taková, že
Pak pro každé takové, že
jsou úplná řešení úlohy Obyčejné diferenciální rovnice (4), Obyčejné diferenciální rovnice (5) definována na celém intervalu a platí
Důkaz. Plyne z Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 4.2 volbou
Jediné úplné (tedy maximální) řešení úlohy je podle části Lineární rovnice