![Logo Matematická biologie](images/logo-matbiol.png)
Psí křivka
Pes pronásleduje zajíce. Zajíc se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí pes běží ve směru k zajíci rovnoměrnou rychlostí
Určete tvar dráhy psa a čas
za který pes zajíce dohoní.
Zvolíme orthonormální souřadnou soustavu tak, aby se zajíc pohyboval po druhé ose souhlasně s její orientací a na počátku, tj. v čase se zajíc nacházel v bodě
a pes v bodě
Nechť pro určitost je
případ
je triviální a v případě
bude tvar dráhy zřejmě obrazem tvaru pro
v osové symetrii kolem druhé souřadné osy.
(a)
|
(b)
|
(c)
|
(d)
|
Obr. 5.1. (a) K odvození rovnice „psí křivky“. Vektor rychlosti zajíce
(b) „Psí křivka“ pro
(c) „Psí křivka“ pro
(d) „Psí křivka“ pro |
Situace je znázorněna na Obr. 5.1 a). Dráhu psa vyjádříme jako funkci V čase
je
a
tj.
|
(18) |
Pes k zajíci směřuje od začátku, tj.
|
(19) |
V jistém čase
se pes nachází v bodě
a zajíc v bodě
Poněvadž pes stále směřuje k zajíci, platí
neboli
|
(20) |
Za čas urazí pes dráhu délky
Této hodnotě tedy musí být rovna délka křivky (grafu funkce)
od bodu
po bod
tedy
Z této rovnosti vyjádříme a dosadíme do Některé klasické úlohy (20),
|
(21) |
Označíme
|
(22) |
Podle předpokladu je Obě strany rovnosti Některé klasické úlohy (21) zderivujeme podle
Dostaneme
a po úpravě
|
(23) |
Dráha psa je tedy řešením neautonomní nelineární diferenciální rovnice druhého řádu Některé klasické úlohy (23) s počátečními podmínkami Některé klasické úlohy (18),Některé klasické úlohy (19).
Rovnice Některé klasické úlohy (23) je typu ref{snizradK}. Proto zavedeme novou neznámou funkci Dosadíme ji do rovnice Některé klasické úlohy (23) a počáteční podmínky Některé klasické úlohy (19). Po snadné úpravě dostaneme počáteční úlohu
Jedná se o rovnici se separovanými proměnnými. Řešení úlohy v implicitním tvaru tedy podle ref{rovseppr} je
Integrací dostaneme
a odtud
kde
|
(24) |
Poněvadž a funkce
splňuje podmínku Některé klasické úlohy (18), dostaneme řešení úlohy integrací poslední rovnosti, tedy
|
|
|
Za konstanty a
dosadíme z rovností Některé klasické úlohy (22) a Některé klasické úlohy (24). Po úpravách dostaneme „psí křivku“ ve tvaru
Nalezená funkce je sudá, vyjadřuje tedy tvar dráhy psa pro
i pro
v prvním případě bychom za definiční obor považovali interval
ve druhém interval
Pes dostihne zajíce v bodě To znamená, že zajíc rychlostí
urazí dráhu délky
a čas, za který pes zajíce dohoní, je tedy roven
„Psí křivku“ („courbe chien“) jako první studoval v roce 1732 francouzský matematik Pierre Bouger (ten je známější jako účastník expedice do Peru v roce 1735, která změřila délku jednoho stupně zeměpisné délky na rovníku). Křivka je nejjednodušším případem křivek sledování (pursuit curves, pojem poprvé použil George Boole ve svém spisu „Treatise on Differential equations“ v roce 1859), které jsou definovány takto: jestliže body a
se pohybují rovnoměrně, bod
po dané křivce a směr pohybu bodu
stále míří k bodu
pak bod
opisuje křivku sledování.
Úloha bývá někdy formulována tak, že pes sleduje svého pána, nebo že liška honí králíka.