Smithova rovnice
|
|
(6) |
Smithův model můžeme považovat za modifikaci Verhulstova modelu výměnou poměrné části populace zbývající do zaplnění nosné kapacity za nevyužitou poměrnou část zdrojů potravy.
Označíme-li rychlost, s jakou populace velikosti
spotřebovává potravu, a
rychlost, s jakou spotřebovává potravu populace, která dosáhla své maximální velikosti. Specifickou míru růstu můžeme uvažovat ve tvaru
|
|
(7) |
kde protože rostoucí populace spotřebovává potravu rychleji než ustálená populace. Závislost
na
a
pak uvažujeme nejjednodušší možnou, tj. lineární
Pro populaci, která dosáhla své maximální velikosti, platí a
Odtud plyne
a po dosazení za
a
do rovnice Základní modely populační dynamiky (7) dostaneme Smithovu rovnici ve tvaru
|
|
(8) |
kde
Abychom získali analytické řešení, vyměníme závislou a nezávislou proměnnou:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S počáteční podmínkou pak nutně
|
|
|
|
|
|
Řešení tedy splňuje
|
|
(9) |
Graf řešení Smithovy rovnice má podobně jako logistická křivka esovitý tvar. Analýzu průběhu funkce však ponecháváme na čtenáři.
