Konzervativní systémy

Nejprve připomeneme dva pojmy, jeden z analýzy a druhý z lineární algebry: Operátor (nabla, gradient) přiřazuje spojitě diferencovatelné skalární funkci proměnných vektorovou funkci

stejných proměnných.

Matice   se nazývá antisymetrická} (polosymetrická, anglicky skew-symmetric), pokud platí rovnost

Definice 5.1. Funkce se nazývá první integrál (invariant) systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), je-li spojitě diferencovatelná a v každém bodě pro její derivaci vzhledem k systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) platí

Řekneme, že systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) je konzervativní, jestliže existuje jeho první integrál.

Věta 5.2. Nechť  je první integrál systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a nechť je řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Pak je funkce konstantní.

Důkaz.

První integrál tedy vyjadřuje veličinu, která je na trajektoriích systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) konstantní, tj. veličinu, která se v průběhu vývoje systému zachovává; název „invariant“ je tedy adekvátní. Systém je konzervativní, pokud zachovává (konzervuje) veličinu V aplikacích může jít např. o celkovou energii nebo hmotu a podobně.

Větu lze přeformulovat i takto: trajektorie systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) jsou vrstevnicemi prvního integrálu. Znalost prvního integrálu tedy poskytuje informaci o řešení systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Znalost několika prvních integrálů umožňuje také zmenšit dimenzi systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Uvažujme systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) s počáteční podmínkou Autonomní systémy a kvalitativní teorie (3). Nechť je přirozené číslo splňující nerovnosti  jsou první integrály systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a nechť vektory jsou lineárně nezávislé. Definujme zobrazení předpisem

Toto zobrazení je spojitě diferencovatelné. Označme

Pak je a z lineární nezávislosti vektorů plyne

Jsou splněny předpoklady věty o implicitním zobrazení (viz např. Z. Došlá, O. Došlý: Diferenciální počet funkcí více proměnných. MU, Brno 1999, Věta 8.5). To znamená, že existuje jediné spojité zobrazení takové, že Substitucí

přejde systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) na systém

Stručně řečeno, složky vypočítáme ze soustavy rovnic

tak, že je vyjádříme v závislosti na složkách a pak je dosadíme do posledních rovnic systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1). Obecněji: vyjádříme neznámých funkcí pomocí zbývajících  a dosadíme je do příslušných  z původních diferenciálních krovnic.

Definice 5.3. Nechť existuje antisymetrická matice a spojitě diferencovatelná funkce taková, že pro všechna je  Pak se systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nazývá hamiltonovský, funkce se nazývá hamiltonián systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Hamiltonovský systém je tedy tvaru

Věta 5.4. Hamiltonovský systém je konzervativní, hamiltonián je jeho invariantem.

Důkaz. Nejprve si všimněme, že pro libovolný vektor a antisymetrickou matici  řádu platí

a tedy Odtud plyne, že

Definice 5.5. Existuje-li přirozené číslo a existují-li zobrazení tak, že pro všechna je

pak se systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) nazývá bipartitní.

Při označení lze bipartitní systém zapsat ve tvaru

Neznámé funkce jsou rozlišeny na dvě sady; derivace funkcí z první sady závisí pouze na funkcích z druhé sady a naopak.

Newtonovy zákony pohybu

Příklad. Uvažujme hmotný bod o hmotnosti který má v čase souřadnice a na nějž působí síla která může záviset na poloze bodu Polohu bodu lze zapsat jako vektor  Označme po řadě rychlost, zrychlení a hybnost bodu

Zákon setrvačnosti říká, že pokud je hmotný bod v klidu nebo vykonává rovnoměrný přímočarý pohyb, pak jeho hybnost („množství pohybu“) je  konstantní a úměrná rychlosti s koeficientem úměrnosti tj. Ze zákona setrvačnosti tak dostáváme

Síla působí zrychlení hmotného bodu; definujeme ji jako úměrnou tomuto zrychlení opět s koeficientem úměrnosti tj. První dva Newtonovy pohybové zákony tedy můžeme vyjádřit ve tvaru bipartitního systému

(17)

Nechť nejprve nepůsobí žádná síla, Pak funkce

je prvním integrálem systému

(18)

Vskutku

takže Analogicky se lze přesvědčit, že každá z funkcí

je prvním integrálem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (18) uvedené první integrály a vyjadřují zákon zachování hybnosti, resp. jejích složek.

Uvažujme nyní centrální sílu působící v počátku, tj. sílu, která bod přitahuje k počátku nebo ho od něj odpuzuje. O velikosti síly budeme předpokládat, že je přímo úměrná hmotnosti bodu a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti bodu od počátku (takovou přitažlivou silou je například síla gravitační). Platí tedy

kde nyní označuje euklidovskou velikost (normu) vektoru. Je-li konstanta úměrnosti kladná, jedná se o přitažlivou sílu, je-li záporná, jedná se o sílu odpudivou. Systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (17) je nyní tvaru

(19)

V souřadnicích ho lze rozepsat

Fázový prostor tohoto systému je množina Pro funkci definovanou předpisem

platí

(20)

Tedy a funkce je prvním integrálem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19). Výraz

vyjadřuje kinetickou energii hmotného bodu výraz

vyjadřuje jeho energii potenciální. První integrál je tedy celkovou mechanickou energií hmotného bodu která se zachovává.

Z vyjádření Autonomní systémy a kvalitativní teorie (20) vidíme, že systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19) lze také zapsat ve tvaru

nebo stručně

kde resp. je nulová, resp. jednotková, matice. Odtud vidíme, že první integrál je současně hamiltoniánem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19). Označíme-li nyní

můžeme systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (19) také zapsat jako hamiltonovský systém

Úlohy k procvičení