Romeo a Julie

Romeo na plese zahlédl Julii a na první pohled se do ní zamiloval. Svoji zamilovanost začal Julii dávat najevo a tak se i ona do něho zamilovala. Pokusíme se popsat vývoj jejich citů, pokud by nedošlo k tragédii popsané Williamem Shakespearem.

Předpokládejme, že cit lze nějak kvantifikovat a označme Romeův cit k Julii a Juliin cit k Romeovi v čase Cit s kladným znaménkem budeme interpretovat jako okouzlení nebo zamilovanost¹ cit se záporným znaménkem jako odpor nebo nechuť. Romeův cit samozřejmě závisí na Juliině odezvě a současně je citem renesančního kavalíra, tedy dobyvatele: čím více náklonnosti Julie projevuje, tím je pro dobyvatele Romea méně přitažlivá. Tento jev vyjádříme tak, že Romeův cit k Julii se zmenšuje, pokud její k němu je kladný. V prvním přiblížení budeme změnu Romeova citu k Julii, tj. derivaci funkce považovat za úměrnou Juliinu citu k Romeovi se záporným koeficientem úměrnosti. Formálně to zapíšeme rovností  

(13)

kde je kladná konstanta. Naopak Juliin cit k Romeovi je povzbuzován Romeovými projevy náklonnosti. Touto úvahou dostaneme rovnici pro Juliin cit v prvním přiblížení jako

(14)

kde Na počátku se Romeo zamiloval a Julie o něm ani nevěděla, její cit k Romeovi byl nulový. Romeovu zamilovanost budeme považovat za jednotkový kladný cit. Dostáváme tak podmínky

(15)

Diferenciální rovnice Některé klasické úlohy (13), Některé klasické úlohy (14) s počátečními podmínkami Některé klasické úlohy (15) představují model vývoje Romeových a Juliiných citů. Jedná se o homogenní systém dvou lineárních rovnic s konstantními koeficienty a lze ho tedy vyřešit metodami popsanými v ref{rSLRk}, konkrétně postupem z ref{pSLRnLRVR} a ref{ssLDRHkonst}.

Derivováním rovnice Některé klasické úlohy (13) a dosazením z rovnosti Některé klasické úlohy (14) dostaneme

Vývoj Romeova vztahu k Julii je tedy popsán homogenní lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty

(16)

Příslušná charakteristická rovnice má dva různé ryze komplexní kořeny Obecné řešení rovnice Některé klasické úlohy (16) tedy je tvaru

Řešení musí splňovat počáteční podmínky Některé klasické úlohy (15), tedy

Odtud dostaneme takže a podle rovnosti Některé klasické úlohy (13) dále platí

Model Některé klasické úlohy (13), Některé klasické úlohy (14), Některé klasické úlohy (15) vývoje citů veronských milenců tedy předpovídá, že Romeovy city k Julii by periodicky kolísaly mezi zamilovaností a zhnusením, stejně tak Juliiny city k Romeovi. Pozitivní city k sobě navzájem mohou prožívat pouze na začátku příběhu, konkrétně do času

Shakespearovo řešení konfliktu tedy není tragédií, ale dobrým koncem. Kdyby příběh probíhal v neomezeném čase, pak pouze čtvrtinu z něho prožívají Romeo s Julií ve vzájemné náklonnosti, čtvrtinu ve vzájemném odporu a polovinu času s city rozdílnými. Povšimněme si ještě, že v případě kolísají Juliiny city s větší amplitudou než Romeovy, v případě je tomu naopak. Jinak řečeno, větším výkyvům citů (většímu utrpení?) je vystaven ten z dvojice, který je citově závislejší.

Vývoj citů lze modelovat i obecněji. Předpokládejme, že také úroveň vlastního citu ovlivňuje změnu tohoto citu. Můžeme tedy uvažovat model tvořený systémem rovnic

(17)

s počáteční podmínkou

Záporný koeficient může vyjadřovat, že Romeo se svých citů bojí, nechce ztrácet vnitřní klid; kladný koeficient  může znamenat, že se Romeo svými city nechá vést. Koeficient  lze tedy považovat za jakési „umístění Romea na ose racionalita-romantismus“; koeficient  lze interpretovat podobně pro Julii.

Modely vývoje milostných citů Některé klasické úlohy (13), Některé klasické úlohy (14) a Některé klasické úlohy (17) publikoval Steven H. Strogatz v článku

Strogatz, S. H. Love affairs and differential equations. Mathematics Magazine. 1988, Vol. 61, No. 1, p. 35.

Účelem článku ovšem nebylo vytvořit matematickou teorii zamilovanosti, ale navrhnout neobvyklý a pokud možno atraktivní způsob výkladu klasické látky - systému dvou obyčejných lineárních diferenciálních rovnic.

¹ Používáme slovo „zamilovanost“, nikoliv „láska“. Láska totiž není jen citem, ale je z velké míry i záležitostí rozhodnutí a vůle; nelze ji proto jednoduše popisovat nějakým „přírodovědeckým“ způsobem. Samotný cit však lze do jisté míry biologickými nebo chemickými termíny popsat a proto ho lze i matematicky modelovat.