Přímá Ljapunovova metoda

V této části budeme symbolem označovat řešení počáteční úlohy Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1), Autonomní systémy a kvalitativní teorie (2).

Definice 4.1. Buď a okolí bodu ve fázovém prostoru Spojitá funkce se nazývá ljapunovská funkce systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) v bodě  jestliže

1. a pro každé
2. Pro každé je složená funkce (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné ) nerostoucí pro všechna

Věta 4.2. (Přímá Ljapunovova metoda). Existuje-li ljapunovská funkce systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) v bodě  pak  je stacionárním bodem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) a konstantní řešení tohoto systému je stejnoměrně stabilní.

Pokud navíc podmínku (2) z definice Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1 lze nahradit silnější podmínkou

2.* Pro každé  je složená funkce  (chápaná jako funkce jedné reálné proměnné ) klesající pro všechna 

pak je konstantní řešení  systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) stejnoměrně asymptoticky stabilní.

Důkaz. Pokud by existovalo takové, že pak by a funkce by nebyla nerostoucí. Bod  je tedy stacionárním bodem systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že V opačném případě bychom totiž mohli systém Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) substitucí transformovat na systém pro který je stacionárním bodem.

Buď libovolné číslo takové, že a označme

Pak a pro každé takové, že Ze spojitosti funkce plyne, že existuje takové, že pro všechna  taková, že Zřejmě je

Buď dále takové, že Pak a poněvadž funkce je nerostoucí, platí

(14)

Kdyby nyní existovalo takové, že pak by ze spojitosti funkce a z Bolzanovy věty plynula existence takového, že a platilo by což by byl spor s Autonomní systémy a kvalitativní teorie (14).

Pro všechna z definičního oboru funkce tedy platí Odtud navíc podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.6 plyne, že  je definována pro všechna  Tvrzení o stejnoměrné stabilitě je tedy dokázáno.

V případě, že platí: pro každé takže

Nechť a funkce  je klesající. Poněvadž funkce  je monotonní, existuje

(15)

a z nezápornosti funkce plyne Připusťme Z toho, že

plyne existence a takových, že  pro všechna Pro všechna je tedy

Položme Funkce je podle Obecné vlastnosti obyčejných diferenciálních rovnic 3.9 spojitá na kompaktní množině a je zde záporná. Podle Weierstrassových vět existuje

je a pro platí

Poněvadž je také což je spor s Autonomní systémy a kvalitativní teorie (15). Tento spor dokazuje, že Ze spojitosti funkce z faktu pro  a z podmínky (1) v definici Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1 a ze vztahu Autonomní systémy a kvalitativní teorie (15) nyní plyne Tím je dokázáno i tvrzení o stejnoměrné asymptotické stabilitě.

Důsledek 4.3. Buď diferencovatelná funkce, která splňuje podmínku (1) z definice Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1. Jestliže pro každé platí

(16)

pak funkce  je ljapunovskou funkcí systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1) v bodě  a tedy konstantní řešení tohoto systému je stejnoměrně stabilní.

Jestliže pro každé  platí  pak funkce splňuje podmínku (2*) z věty Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.2 a tedy konstantní řešení  tohoto systému je stejnoměrně asymptoticky stabilní.

Důkaz. Pro každé  a každé  je a podle věty o derivaci složené funkce platí

Odtud a ze známých vět o vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné pomocí derivace plynou obě tvrzení.

Je-li diferencovatelná funkce definovaná na pak výraz definovaný vztahem

se nazývá derivace funkce vzhledem k systému Autonomní systémy a kvalitativní teorie (1).

Příklad. Ukážeme, že pro všechny funkce a splňující a je počátek stejnoměrně asymptoticky stabilní rovnovážný bod systému

Je zřejmé, že jde o rovnovážný bod díky podmínkám  a  Uvažujme funkci Tato funkce je nulová v počátku a jinde kladná, splňuje tedy podmínku (1) z definice Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.1. Pro derivaci funkce vzhledem k uvedenému systému platí

přitom ale a  tedy

přičemž nule je rovna pouze v počátku, jinde je záporná, což podle důsledku Autonomní systémy a kvalitativní teorie 4.3 dokazuje stejnoměrnou asymptotickou stabilitu počátku.

Úlohy k procvičení