Exponenciální třída rozdělení pravděpodobností

Přirozenou třídou hustot, se kterými budeme dále pracovat, je třída hustot exponenciálního typu. Uveďme nejprve její definici.

Definice 2.9. Řekneme, že pozorování pochází z rozdělení exponenciálního typu, pokud jeho pravděpodobnostní funkce (v případě diskrétních rozdělení) či hustota (v případě spojitých rozdělení) je tvaru

kde

je (neznámý) tzv. přirozený parametr

a

  jsou známé funkce.

Pokud

• říkáme že  pravděpodobnostní funkce, popř. hustota je v kanonické formě.
• v konkrétním rozdělení figurují další neznámé parametry, nazveme je tzv. rušivými parametry.

V dalším budeme uvažovat pouze regulární a kanonické formy  spolu s podmínkou a přitom zavedeme do označení jeden rušivý parametr :

kde	a	jsou parametry
		jsou známé funkce,
a pokud
		je tzv. faktor měřítka (scale factor)
		je známá apriorní váha.

Tato forma se také nazývá škálovou formou hustoty exponenciálního typu.

Poznámka 2.10. Jestliže neplatí  stačí provést jednoduchou reparametrizaci a zavést případně nový parametr

který se pak nazývá kanonickým parametrem.

Lemma 2.11. Mějme náhodnou veličinu z rozdělení s regulární hustotou  exponenciálního typu:

(1)

Pak

Nechť navíc platí

(2)

kde pak

Funkce se nazývá rozptylovou funkcí (variance function).

Příklady rozdělení exponenciálního typu

Příklad 2.12. (Normální rozdělení). Mějme

Pak
a
Skutečně platí
a

Tedy	přirozený parametr		scale factor
	rozptylová funkce		váhy

 

Příklad 2.13. (Binomické rozdělení). Mějme

pak
pro
přičemž		a

Pravděpodobnostní funkce není ve škálové formě, proveďme reparametrizaci

Tedy
a
Skutečně platí
a
Tedy	přirozený parametr
	rozptylová funkce
	scale factor
	váhy

Poznámka 2.14. Je třeba poznamenat, že ve vztahu

se vedle parametru vyskytuje i parametr který je však vždy znám. Abychom dostáli úvodní definici Zobecněné lineární modely (1), proto ho nebudeme považovat za rušivý parametr, ale za známou konstantu. Tomuto problému se lze vyhnout, když přejdeme od absolutních četností k relativním četnostem

V případě, že uvažuje místo absolutních relativní četnosti: je pravděpodobnostní funkce nenulová pro a je tvaru

a
Pravděpodobnostní funkce není ve škálové formě, proveďme reparametrizaci
Tedy
a

Skutečně platí
Tedy	přirozený parametr
	rozptylová funkce
	scale factor
	váhy

Příklad 2.15. (Poissonovo rozdělení). Mějme

pak
přičemž		a

Protože pravděpodobnostní funkce není ve škálové formě, proveďme reparametrizaci

a
Skutečně platí
a
Tedy	přirozený parametr
	rozptylová funkce
	scale factor
	váhy

Příklad 2.16. (Gamma rozdělení). Mějme

Pak
přičemž		a

Tento tvar hustoty je však pro nás nevhodný (ve střední hodnotě máme rušivý parametr ), proto uvažujme reparametrizaci

pak
přičemž		a

Hustota není v kanonickém tvaru, proto parametrizujme
pak
a
Skutečně platí
a
Tedy	přirozený parametr
	rozptylová funkce
	scale factor
	váhy

Příklad 2.17. (Exponenciální rozdělení). Exponenciální rozdělení je speciálním případem gamma rozdělení

Pak
přičemž		a

Hustota není v kanonickém tvaru, proto parametrizujme

Tedy
a
Skutečně platí
a
tj. jde o regulární systém hustot a navíc platí podmínka Zobecněné lineární modely (2).
Tedy	přirozený parametr
	rozptylová funkce
	scale factor
	váhy