Testování hypotéz v lineárním regresním modelu

Díky předchozím větám dokážeme v lineárním regresním modelu plné hodnosti vypočítat nejen OLS-odhady neznámých parametrů  ale také máme k dispozici odhad neznámého rozptylu  a známe vlastnosti těchto odhadů.

V dalším se zaměříme na stanovení jejich rozdělení v případě, že náhodný vektor  má vícerozměrné normální rozdělení. Pak teprve budeme moci přejít k testování hypotéz o neznámých parametrech 

Jestliže náhodný vektor  se řídí lineárním regresním modelem plné hodnosti, což zapisujeme    a navíc má vícerozměrné normální rozdělení, budeme psát

Věta 4.1. Mějme lineární regresní model plné hodnosti, přičemž  Pak platí

(a)	OLS-odhad vektoru neznámých parametrů má normální rozdělení
(b)	náhodná veličina
(c)	náhodná veličina   a OLS-odhad  jsou nezávislé.

Díky tomuto tvrzení lze dokázat následující větu.

Věta 4.2. V modelu  plné hodnosti pro každé    platí

Důsledek 4.3. V modelu  plné hodnosti má  interval spolehlivosti pro parametrickou funkci  (kde ) tvar

Poznámka 4.4. Prakticky lze provést test hypotézy  ( je dané reálné číslo) proti alternativě  na hladině významnosti  tak, že hypotézu  zamítáme, pokud platí

Poznámka 4.5. V praktických situacích se nejčastěji volí vektor  jako jednotkový s jedničkou na j-tém místě  a v tom případě  takže

(a)	interval spolehlivosti má tvar (při značení )
(b)	Test hypotézy   ( je dané reálné číslo) proti alternativě  na hladině významnosti  se provede tak, že hypotézu  zamítáme, pokud platí

Před další větou zavedeme následující bloková značení:

obdobně

a nakonec také pro matici

kde matice  je typu 

Věta 4.6. V modelu  plné hodnosti platí, že statistika

Poznámka 4.7. Díky předcházející větě můžeme testovat nulovou hypotézu 

(kde  je daný vektor reálných čísel, nejčastěji nulový vektor)

proti alternativě 

na hladině významnosti  tak, že hypotézu  zamítáme, pokud platí