Parciální korelační koeficient

 Na závěr této kapitoly zavedeme pojem parciální korelační koeficient. Pro tento případ budeme uvažovat náhodné veličiny

Motivací k zavedení tohoto korelačního koeficientu je fakt, že korelační koeficient  mezi náhodnou veličinou a může být dosti vysoký proto, že obě náhodné veličiny jsou silně závislé na  náhodném vektoru  Zajímá nás proto, jaká by byla korelace mezi a při vyloučení vlivu, který je způsoben náhodným vektorem .

Toto odstranění vlivu náhodného vektoru  lze uskutečnit tak, že se sleduje korelace mezi  a při pevných hodnotách náhodného vektoru
Protože v praktických situacích není možné uspořádání experimentu takovým způsobem, aby byla provedena eliminace vlivu náhodného vektoru , je třeba ji provést pomocí vhodného matematického modelu. Obdobně jako v případě koeficientu mnohonásobné korelace se omezíme pouze na lineární vztahy.
Označme  a  nejlepší lineární predikce náhodných veličin a pomocí náhodného vektoru  Korelaci očištěnou od vlivu náhodného vektoru  dostaneme, budeme-li počítat korelaci  Definujme proto

Definice 3.11. Nechť existuje korelační koeficient  Potom jej budeme nazývat parciálním korelačním koeficientem náhodných veličin a při pevném  a budeme jej značit

Věta 3.12. Pro parciální korelační koeficient náhodných veličin a při pevném  platí

Poznámka 3.13. Z hodnoty korelačního koeficientu  nelze usuzovat na velikost parciálního korelačního koeficientu  Tyto dva koeficienty se od sebe mohou dosti odlišovat, mohou mít i různé znaménko a v případě, že jeden z nich je roven nule, může být druhý různý od nuly a podobně. Jejich vztah je tedy odlišný od vztahu  a   který dává důsledek Základy regresní a korelační analýzy 3.6.

Pro praktické účely opět definujme výběrový protějšek k parciálnímu korelačnímu koeficientu.

Definice 3.14. Mějme náhodné vektory

kde  jsou náhodné veličiny a  jsou náhodné vektory typu 
Pak výběrový parciální korelační koeficient je definován vztahem

kde  je výběrový koeficient korelace náhodných veličin , a  jsou příslušné výběrové koeficienty mnohonásobné korelace.

Návod 3.15. (praktický výpočet). V praxi se pro výpočet parciálního korelačního koeficientu používá následujícího postupu. Položme  a  Pak

kde  je submatice, která vznikne z  vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

Příklad 3.16. Na datech z příkladu Základy regresní a korelační analýzy 3.10 vypočtěte parciální korelační koeficient 

Řešení. Připomeňme matici , která byla tvaru

Příslušné submatice jsou

Po dosazení dostáváme

Výsledek lze interpretovat jako velikost lineární závislosti ozónu na intenzitě slunečního záření s vyloučením vlivu rychlosti větru a teploty vzduchu. Podobně by šlo zkoumat ostatní vazby mezi proměnnými.