Kontingenční tabulky

Mějme náhodný výběr rozsahu pro který kde jsou kladná přirozená čísla, tj. náhodný výběr lze rozepsat takto

Předpokládejme, že náhodný výběr je z Poissonova rozdělení, tj.

s tzv. celkovou dodatečnou podmínkou

kde jsou realizace náhodných veličin

Pak sdružená (nepodmíněná) pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru  je rovna

Součet nezávislých náhodných veličin s Poissonovým rozdělením má opět Poissonovo rozdělení, tj.

Nás ovšem zajímá  rozdělení náhodného vektoru  za podmínky (tj. že součet jeho složek je roven pevně danému kladnému přírozenému číslu ) s pravděpodobnostní funkcí kterou lze snadno vypočítat ze vztahu

kterou s využitím vztahů

lze upravit takto

a položíme-li

Z předchozích úvah vidíme, že platí následující věta.

Věta 5.1. Rozdělení náhodného vektoru  za podmínky  je multinomické s pravděpodobnostní funkcí

tj.

přičemž

Poznámka 5.2. Multinomické rozdělení popisuje situaci, kdy máme neslučitelných jevů, které označme

Jednotlivé jevy mohou nastat v každém z nezávislých pokusů s pravděpodobnostmi

Multinomické rozdělení je zobecněním binomického rozdělení a je patrně nejdůležitějším diskrétním mnohorozměrným rozdělením. Svým významem by se dalo přirovnat k mnohorozměrnému normálnímu rozdělení, jemuž se podobá především díky dvěma vlastnostem: podmíněná i marginální rozdělení jsou opět multinomická. Realizace náhodných veličin i teoretické pravděpodobnosti lze uspořádat do tzv. kontingenční tabulky:

Čísla a se nazývají marginální četnosti a a jsou marginální pravděpodobnosti. Tabulky popisujeme slovně tak, že říkáme, že jednotek bylo klasifikováno podle znaku A do tříd a podle znaku do tříd. V praxi kontingenční tabulka vzniká tak, že na daných objektech sledujeme dva znaky (faktory). Vybereme-li náhodně objektů, můžeme výsledky shrnout do kontingenční tabulky typu

Nejčastěji se v kontingenčích tabulkách testuje hypotéza, že     faktory A a B jsou nezávislé       tj.

Poznámka 5.2. Poznamenejme, že existuje samozřejmě více testů v kontingenčních tabulkách, např. test homogenity. Případně lze tyto testy rozšířit na vícerozměrné kontingenční tabulky. Pro více informací o modelech pro tyto případy odkazujeme čtenáře na [6].