Testování nezávislosti nominálních veličin
V této sekci se budeme zabývat stochastickou nezávislostí náhodných veličin nominálního typu. Připomeňme si nejprve, co tento pojem znamená. Nominální proměnná je taková, o jejíž dvou hodnotách můžeme pouze říci, zda jsou stejné či různé (škola, fakulta, obor, krevní skupiny: A, B, O, A/B), tj. obsahová interpretace je možná jenom u relace rovnosti. Hodnotami mohou být texty (písmena), případně i číselné kódy.
Návod 2.1. (Popis testu). Nechť jsou dvě nominální náhodné veličiny. Nechť
nabývá variant
a
nabývá variant
Pořídíme dvourozměrný náhodný výběr rozsahu
z rozložení, kterým se řídí dvourozměrný diskrétní náhodný vektor
Zjištěné absolutní četnosti
dvojice variant
uspořádáme do kontingenční tabulky:
Testujeme hypotézu jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti
nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Testová statistika má tvar:
Platí-li pak
se asymptoticky řídí rozložením
Hypotézu o nezávislosti veličin
tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti
když
Definice 2.2. Výraz se nazývá teoretická četnost.
Poznámka 2.3. (Podmínka dobré aproximace). Rozložení statistiky lze aproximovat rozložením
pokud teoretické četnosti aspoň v 80% případů nabývají hodnoty větší nebo rovné 5 a ve zbylých 20% neklesnou pod 2. Není-li splněna podmínka dobré aproximace, doporučuje se slučování některých variant.
Dále se budeme zabývat intenzitou případné závislosti sledovaných veličin. K tomuto účelu byl zkonstruován Cramérův1 koeficient.
Definice 2.4. Cramérův koeficient je tvaru
kde Tento koeficient nabývá hodnot mezi 0 a 1. Čím blíže je 1, tím je těsnější závislost mezi
a
Čím blíže je 0, tím je tato závislost volnější.
Příklad 2.5. V sociologickém průzkumu byl z uchazečů o studium na vysokých školách pořízen náhodný výběr rozsahu 360. Mimo jiné se zjišťovala sociální skupina, ze které uchazeč pochází a typ školy, na kterou se hlásí. Výsledky jsou zaznamenány v kontingenční tabulce:
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti typu školy a sociální skupiny. Vypočtěte Cramérův koeficient.
Řešení.
Protože
hypotézu o nezávislosti typu školy a sociální skupiny zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient:
1Carl Harald Cramér (1893 - 1985). Švédský matematik.
