Konvoluce

Pro posloupnost klademe

pokud obě řady na pravé straně definiční rovnosti konvergují.

Definice 2.5. Konvoluce je parciální operace na množině posloupností tj. je zobrazení z kartézského součinu do množiny definované vztahem

pro posloupnosti takové, že obě řady

konvergují absolutně.

Jsou-li takové posloupnosti, že existuje jejich konvoluce pak existuje také konvoluce a obě konvoluce se rovnají. Pro totiž platí

analogicky ukážeme platnost vztahu pro

Jsou-li a kauzální posloupnosti, pak platí

Na pravé straně rovnosti je konečný součet, což znamená, že konvoluce kauzálních posloupností je vždy definována. Je-li pak podle tvrzení Přípravné úvahy 2.24 platí

Odtud plyne, že konvoluce kauzálních posloupností je kauzální posloupnost. Stručně, pro libovolné posloupnosti existuje posloupnost pro jejíž členy platí

při konkrétních výpočtech používáme to vyjádření konvoluce, které je v dané situaci nejvhodnější.

Ještě si můžeme povšimnout, že na pravých stranách rovnic Transformace Z a její užití (4) a Transformace Z a její užití (5) je konvoluce posloupností a ; tím je zdůvodněn název „rovnice konvolučního typu“.

Důležitou vlastností transformace je ta, že převádí konvoluci na součin.

Tvrzení 2.6. Nechť Pak platí

Stručně: obraz konvoluce kauzálních posloupností a   při transformaci je součinem obrazů jednotlivých posloupností.

Důkaz. Nekonečné řady, kterými jsou definovány obrazy kauzálních posloupností při transformaci , konvergují uvnitř svého oboru konvergence absolutně. Nekonečné řady, jimiž je definována konvoluce kauzálních posloupností jsou vlastně konečnými součty. Proto je následující výpočet korektní.