Stabilita lineárních systémů

Uvažujme lineární homogenní systém s konstantní maticí Lineární rovnice (64). Tento systém je autonomní. Jeho rovnovážný bod je řešením homogenní soustavy lineárních (algebraických) rovnic

(20)

Odtud plyne, že je rovnovážným bodem lineárního homogenního systému.

Je-li matice regulární, pak má systém Lineární rovnice (64) s počáteční podmínkou Autonomní rovnice (19) podle Lineární rovnice (66) řešení

kde je Jordanův kanonický tvar matice . Z tvaru řešení vidíme, že

1. Mají-li všechny vlastní hodnoty matice modul (absolutní hodnotu) menší než 1, pak je rovnovážný bod globálně asymptoticky stabilní.
2. Pokud modul žádné vlastní hodnoty matice nepřevýší 1 a ty vlastní hodnoty, které mají modul roven 1, jsou jednoduchého typu, pak je rovnovážný bod stabilní.
3. Existuje-li vlastní hodnota matice taková, že její modul je větší než 1, pak je rovnovážný bod nestabilní.
4. Mají-li všechny vlastní hodnoty matice modul větší než 1, pak je rovnovážný bod repelentní.

Pokud 1 není vlastní hodnotou regulární matice , pak má rovnice Autonomní rovnice (20) jediné řešení a tedy lineární homogenní systém má jediný rovnovážný bod. Proto můžeme mluvit nikoliv o stabilitě nějakého rovnovážného bodu systému, ale o stabilitě právě toho jediného rovnovážného bodu. To nás opravňuje mluvit o stabilitě lineárního systému.

Uvažujme nyní nehomogenní lineární autonomní systém (lineární systém s konstantními koeficienty)

(21)

Je-li matice regulární a nemá vlastní číslo 1, pak má tento systém jediný stacionární bod  V takovém případě řekneme, že systém Autonomní rovnice (21) je stabilní, pokud přidružený homogenní systém je stabilní.