Nehomogenní rovnice a metoda variace konstant

Pokud jsou posloupnosti v rovnicích Lineární rovnice (22) a Lineární rovnice (23) stejné, řekneme, že homogenní lineární diferenční rovnice Lineární rovnice (23) je přidružená k nehomogenní rovnici Lineární rovnice (22).

Je-li posloupnost řešením nehomogenní rovnice Lineární rovnice (22) a posloupnost je řešením přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (23), pak jejich součet je opět řešením nehomogenní rovnice Lineární rovnice (22), neboť

Platí tedy

Věta 3.4. Nechť tvoří fundamentální systém řešení lineární homogenní diferenční rovnice Lineární rovnice (23) přidružené k nehomogenní rovnici Lineární rovnice (22). Pak každé řešení nehomogenní rovnice Lineární rovnice (22) je tvaru

kde je nějaké řešení nehomogenní rovnice a jsou konstanty.

Nechť posloupnosti tvoří fundamentální systém řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (23) přidružené k nehomogenní rovnici Lineární rovnice (23). Pak je

(27)

Řešení nehomogenní rovnice Lineární rovnice (23) budeme hledat ve tvaru

(28)

kde jsou zatím neurčené posloupnosti. Hledáme ho tedy jako analogii řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (25); místo konstant však píšeme posloupnosti - varírujeme konstanty. Z tohoto důvodu se tato metoda řešení nehomogenní rovnice nazývá metoda variace konstant.

Nyní můžeme vyjádřit

Budeme požadovat, aby posloupnosti splňovaly rovnici

Pak takže

Dále budeme požadovat, aby posloupnosti splňovaly rovnice

takže Takto budeme pokračovat až k požadavku

a vyjádření

Celkem tedy požadujeme

(29)

a dostáváme

(30)

V poslední z rovností Lineární rovnice (30), tj. v té, v níž budeme psát místo a upravíme ji s použitím Lineární rovnice (27). Dostaneme

	(31)

Současně posloupnost má být řešením rovnice Lineární rovnice (22), takže s využitím vztahů Lineární rovnice (30) dostaneme

	(32)

Porovnáním Lineární rovnice (31) a Lineární rovnice (32) vidíme, že

(33)

Diference posloupností tedy splňují systém rovnic Lineární rovnice (29), Lineární rovnice (33). Přepíšeme ho do tvaru

Determinant této soustavy je Casoratiánem fundamentálního systému řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (23) v indexu Je tedy nenulový a soustava je jednoznačně řešitelná. Označíme

je Casoratián fundamentálního řešení homogenní rovnice Lineární rovnice (23). Diference posloupností nyní můžeme vyjádřit ve tvaru

Odtud a z rovnosti Přípravné úvahy (24) dostaneme

Při označení můžeme řešení rovnice Lineární rovnice (22) podle vztahu Lineární rovnice (28) psát ve tvaru