Rovnovážné body a jejich stabilita

Definice 2.5.  Množina bodů se nazývá (pozitivní) trajektorie bodu nebo orbita bodu

Trajektorie bodu je množinou členů řešení úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7).

Definice 2.6. Řekneme, že bod je rovnovážný (stacionární) bod rovnice Autonomní rovnice (6), pokud je pevným bodem funkce tj. pokud platí

Bod je rovnovážným bodem rovnice Autonomní rovnice (6) právě tehdy, když stacionární posloupnost je řešením této rovnice. To nastává právě tehdy, když je první souřadnicí průsečíku grafu funkce a osy prvního a třetího kvadrantu, tj. přímky o rovnici

Trajektorie rovnovážného bodu je jednoprvková,

Definice 2.7. Řekneme, že rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (6) je dosažitelný z bodu pokud existuje kladné číslo takové, že a

Je-li rovnovážný bod dosažitelný z nějakého bodu pak funkce  není prostá.

Příklad 2.8. Uvažujme rovnici

kde funkce je definována vztahem

Platí takže  a jsou rovnovážné body uvažované rovnice. Dále

To znamená, že rovnovážný bod je dosažitelný z každého bodu tvaru

Definice 2.9. Nechť je rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (6) a posloupnost je řešením úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7). Řekneme, že rovnovážný bod je

• stabilní, pokud ke každému existuje tak, že z nerovnosti plyne nerovnost pro všechna

• atrahující (přitažlivý), pokud existuje takové, že z nerovnosti plyne rovnost je-li navíc  řekneme, že je globálně atrahující;

• asymptoticky stabilní, pokud je stabilní a atrahující; je-li navíc globálně atrahující, řekneme, že rovnovážný bod je globálně asymptoticky stabilní;

• nestabilní, pokud není stabilní;

• repelentní (odpuzující), pokud existuje takové, že z nerovnosti plyne, že existuje index posloupnosti takový, že pro všechny indexy

Poznamenejme, že je-li rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (6) repelentní, pak je nestabilní. Obrácené tvrzení neplatí. Od nestabilního rovnovážného bodu se řešení rovnice Autonomní rovnice (6) v jistém čase (indexu) vzdálí, ale v nějakém dalším čase se k němu může opět přiblížit.

Příklad 2.10. Lineární rovnice

s počáteční podmínkou má podle výsledků uvedených v Nehomogenní rovnice a metoda variace konstanty řešení

Pro jediný rovnovážný bod uvažované rovnice platí:

• je-li pak je repelentní;
• je-li pak je stabilní ale nikoliv atrahující;
• je-li pak je globálně asymptoticky stabilní;

je-li přitom navíc pak je dosažitelný z jakéhokoliv bodu

Budeme vyšetřovat chování řešení rovnice Autonomní rovnice (6) v okolí rovnovážného bodu . Odchylku řešení od rovnovážného stavu definujeme jako posloupnost danou vztahem

Z Taylorovy věty plyne, že ke každému indexu existuje číslo z intervalu takové, že

Pokud je odchylka  „malá“, „výrazně menší než 1“, pak je její druhá mocnina „ještě menší“, „skoro nulová“. Na základě této úvahy zanedbáme v poslední rovnost poslední sčítanec a dostaneme, že odchylka od rovnovážného stavu přibližně splňuje lineární homogenní diferenční rovnici

Pokud tedy pak malá odchylka se bude s rostoucím indexem zmenšovat, až vymizí. Lze tedy očekávat, že v případě bude rovnovážný bod asymptoticky stabilní. Pokud naopak malá odchylka se bude s rostoucím zvětšovat, až přestane být malou. V tomto případě lze očekávat, že rovnovážný bod je nestabilní. Z této úvahy ovšem neplyne, že by v případě byl rovnovážný bod repelentní. Odchylka se může zvětšit a poté znovu zmenšit na hodnotu menší, než předem daná hranice

Provedená úvaha ukazuje, že lze snadno rozhodnout o asymptotické stabilitě nebo nestabilitě rovnovážného bodu rovnice Autonomní rovnice (6), pro který je Takový rovnovážný bod si zaslouží vlastní název.

Definice 2.11. Řekneme, že rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (6) je hyperbolický, pokud

Při vyšetřování stability se však nemusíme omezit jen na hyperbolické rovnovážné body. Téměř úplnou odpověď na otázku stability rovnovážných bodů autonomních diferenčních rovnic s hladkou pravou stranou dá věta Autonomní rovnice 2.12.

Věta 2.12. Nechť je rovnovážný bod rovnice rovnice Autonomní rovnice (6) a funkce je spojitě diferencovatelná v bodě Pak platí:

1. Je-li pak je nestabilní.
2. Je-li pak je asymptoticky stabilní.
3. Je-li a funkce je v bodě dvakrát spojitě diferencovatelná, pak:
   1. je-li pak je nestabilní;
   2. je-li a funkce je v bodě třikrát spojitě diferencovatelná, pak
      1. je-li pak je nestabilní,
      2.  je-li pak je asymptoticky stabilní.
4. Je-li a funkce je v bodě třikrát spojitě diferencovatelná, pak:
   1.  je-li pak je nestabilní,
   2. je-li pak je asymptoticky stabilní.

Důkaz. i. Nechť Položme Poněvadž funkce je spojitá v bodě , je v tomto bodě spojitá i její absolutní hodnota a tedy existuje takové, že pro každé je

Položme Pak

Nechť nyní a je řešením úlohy Autonomní rovnice (6), Autonomní rovnice (7). Označme a připusťme, že pro všechna Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě existuje takové, že

Podle tvrzení Autonomní rovnice 2.3 je přičemž což znamená, že Proto nemůže být pro všechny indexy Existuje tedy index že tj. rovnovážný bod je nestabilní. Tvrzení i. je dokázáno.

ii. Nechť Položme Pak je Ze spojitosti funkce plyne, že ke existuje takové, že pro všechna Tedy pro všechna z -okolí bodu platí

Položme opět Nechť tedy Pokud pro nějaké je pak podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě existuje takové, že

Tedy z nerovnosti plyne nerovnost Úplnou indukcí tedy dostaneme, že pro všechna To znamená, že rovnovážný bod je stabilní. Současně platí pro všechna Z tvrzení Autonomní rovnice 2.3 nyní plyne

a poněvadž platí podle věty o třech posloupnostech

takže To znamená, že rovnovážný bod je atrahující. Celkem tedy je asymptoticky stabilní a tvrzení ii. je dokázáno.

iii. Nechť Pak osa prvního kvadrantu je tečnou ke grafu funkce a existuje okolí bodu na kterém je funkce ryze rostoucí. Nechť nejprve je funkce na levém ryzím okolí bodu ryze konkávní, tj. její graf leží pod tečnou v bodě Označme takové kladné číslo, že funkce je na intervalu rostoucí a ryze konkávní. Pak pro každé platí

(9)

Je-li řešení rovnice Autonomní rovnice (6) a pro nějaký index platí pak podle předchozí nerovnosti platí

Připusťme, že existuje řešení rovnice Autonomní rovnice (6) takové, že pro všechny indexy Pak je ryze klesající zdola ohraničená posloupnost, tedy podle věty Přípravné úvahy 2.12 konvergentní. Označme

Pak je Z nerovnosti Autonomní rovnice (9) a ze spojitosti funkce nyní plyne

což je spor. Dostáváme tak:

• Je-li funkce rostoucí a ryze konkávní na intervalu pak pro každé řešení rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou existuje index takový, že

Nechť nyní je funkce na levém ryzím okolí bodu ryze konvexní, tj. její graf leží nad tečnou v bodě Označme takové kladné číslo, že funkce je na intervalu ryze konvexní a rostoucí. Pak pro každé je

(10)

Je-li pak podle těchto nerovností platí

To znamená, že řešení rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou je ryze rostoucí posloupnost shora ohraničená hodnotou Podle věty Přípravné úvahy 2.12 je tato posloupnost konvergentní. Existuje tedy takové číslo, že

Ze spojitosti funkce nyní plyne

Kdyby pak by podle Autonomní rovnice (10) platilo a to by byl spor; je tedy Dostáváme tak

• Je-li funkce rostoucí a ryze konvexní na intervalu pak pro každé řešení rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou platí pro všechny indexy a

Analogicky můžeme ukázat, že platí tvrzení

• Je-li funkce rostoucí a ryze konkávní na intervalu pak pro každé řešení rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou platí pro všechny indexy a
• Je-li funkce rostoucí a ryze konvexní na intervalu pak pro každé řešení rovnice Autonomní rovnice (6) s počáteční podmínkou existuje index takový, že

Z dokázaných pomocných tvrzení již plyne tvrzení iii. V případě a. je totiž funkce na okolí rovnovážného bodu buď ryze konvexní nebo ryze konkávní. V případě b. má funkce v bodě inflexi; pokud nastane možnost (), pak je funkce na pravém okolí bodu konvexní; pokud nastane možnost (), pak je funkce na levém okolí bodu konvexní a na pravém konkávní.

iv. Spolu s rovnicí Autonomní rovnice (6) uvažujme rovnici

(11)

kde Je-li rovnovážný bod rovnice Autonomní rovnice (6), pak

a je také rovnovážným bodem rovnice Autonomní rovnice (11). Je-li posloupnost řešením rovnice Autonomní rovnice (6), pak posloupnost definovaná vztahem splňuje rovnost

a tedy je řešením rovnice Autonomní rovnice (11). Tato skutečnost ukazuje, že z asymptotické stability (resp. nestability) rovnovážného bodu rovnice Autonomní rovnice (11) plyne asymptotická stabilita (resp. nestabilita) rovnovážného bodu rovnice Autonomní rovnice (6).

Dále platí

Je-li tedy pak podle předchozích rovností platí

Tvrzení iv. je tedy důsledkem tvrzení iii.

Příklad 2.13. Stabilita rovnovážného řešení Bevertonovy-Holtovy rovnice.

Rovnice Přípravné úvahy (16) je autonomní, funkce na její pravé straně je dána výrazem

Oba parametry a jsou kladné. Uvažujme tuto rovnici na stavovém prostoru Rovnovážné body jsou řešením (algebraické) rovnice

po snadné úpravě

Předpokládejme nejprve, že Pak jsou rovnovážné body dva, a Platí

Z věty Autonomní rovnice 2.12 nyní plyne: Je-li pak je rovnovážný bod 0 asymptoticky stabilní a rovnovážný bod  je nestabilní. Naopak, pokud pak je rovnovážný bod 0 nestabilní a rovnovážný bod je asymptoticky stabilní. Připomeňme, že stejné závěry plynuly z explicitního řešení Některé explicitně řešitelné rovnice (1) rovnice Přípravné úvahy (16).

Poněvadž Bevertonova-Holtova rovnice modeluje vývoj populace v prostředí s úživností můžeme tento výsledek interpretovat: Je-li vnitřní koeficient růstu menší než 1, pak populace vymře; v takovém případě by totiž populace nemohla růst ani v prostředí s neomezenými zdroji. Pokud je vnitřní koeficient růstu větší než jedna, populace v prostředí dlouhodobě přežívá a její velikost se ustálí na hodnotě kapacity prostředí.

Povšimněme si, že o přežití populace vyvíjející se podle rovnice Přípravné úvahy (16), tedy populace -stratégů, nerozhoduje prostředí ale jen její vlastní biotický potenciál. Tento závěr asi není obecně úplně realistický - v případě malé kapacity prostředí může i populace -stratégů vyhynout v důsledku nějaké náhodné fluktuace.

Pokud pak je každý bod ze stavového prostoru rovnovážný. Rovnice Přípravné úvahy (16) nabude tvar

a její řešení je konstantní, Každý bod je tedy navíc stabilní. Tato teoreticky možná situace asi nemá rozumnou ekologickou interpretaci.