Sumace

Definice 3.7. Buď a libovolný index. Operátor sumace od přiřadí posloupnosti posloupnost definovanou vztahem

Věta 3.8. Buď a libovolný index. Operátor sumace je lineární prosté zobrazení, které není surjektivní.

Důkaz. Buďte libovolné posloupnosti a libovolná čísla. Pak

pro libovolný index To znamená, že zobrazení je lineární.

Připusťme, že zobrazení není prosté, tj. existují různé posloupnosti takové, že pro všechna Poněvadž existuje index takový, že To znamená, že

což je spor.

Pro libovolnou posloupnost platí takže posloupnost taková, že není obrazem žádné posloupnosti při zobrazení

Buď a libovolný index. Pak platí

stručně

(24)

Rovnosti Přípravné úvahy (19) a Přípravné úvahy (24) můžeme bezprostředně přepsat na tvar

(25)

Abychom ještě zestručnili zápis, zavedeme operátor předpisem

Operátor lze interpretovat jako odečtení -tého členu posloupnosti. Pokud posloupnost je taková, že pak

což znamená, že Porovnáním rovností Přípravné úvahy (19) a Přípravné úvahy (24) nyní vidíme, že

To zejména znamená, že operátory diference a sumace nejsou vzájemně inversní na množině

Operátory posunu a sumace od na prostoru posloupností obecně nekomutují, tj. existuje posloupnost taková, že

Tyto operátory však komutují na podprostoru Pro každý index totiž platí

Tvrzení o linearitě operátoru sumace lze přeformulovat: Pro libovolné posloupnosti se stejným definičním oborem a pro každé reálné číslo platí

Z těchto rovností bezprostředně plyne

Máme tedy formule pro sumaci součtu a rozdílu posloupností. Jisté vyjádření sumace součinu posloupností vyjadřuje následující věta.

Věta 3.9. (Sumace „per partes“). Buď , a Pak platí

(26)

(27)

Důkaz. Podle Přípravné úvahy (24) platí

a podle druhé z rovností Přípravné úvahy (21) a věty Přípravné úvahy 3.8 platí

Odtud již plyne rovnost Přípravné úvahy (26). Rovnost Přípravné úvahy (27) odvodíme analogicky s využitím první z rovností Přípravné úvahy (21).