Operátorově-diferenční rovnice

Povšimněme si ještě jednou explicitní diferenční rovnice prvního řádu, resp. rekurentní formule prvního řádu, ve tvaru

(16)

V obou případech je na pravé straně reálná funkce dvou reálných proměnných. Dalekosáhlé zobecnění těchto rovnic můžeme získat pouhou změnou interpretace těchto pravých stran. Symbol resp. nebudeme chápat jako funkci, tj. zobrazení ale jako operátor, tj. zobrazení které reálnému číslu a posloupnosti přiřadí posloupnost.

Základní rozdíl operátorově-diferenčních rovnic oproti diferenčním rovnicím Diferenční rovnice (16) je ten, že pro výpočet hodnoty nestačí znát jen „bezprostředně předcházející“ hodnotu ale je nutné „nějak znát celou posloupnost“

Příklad 4.1. Růst populace produkující toxické odpady

Výraz

vyskytující se na pravé straně rovnice Přípravné úvahy (14), která modeluje vývoj populace, interpretujeme jako růstový koeficient, který je zmenšován působením populace o velikosti Budeme modelovat jednu z možností, jak k tomuto zmenšování dochází.

Předpokládejme, že zvětšení úmrtnosti, a tedy zmenšení růstového koeficientu, je způsobeno tím, že populace produkuje nějaké škodlivé odpady. Tyto odpady zamořují prostředí, ale postupně se v něm rozkládají. Označme množství odpadů, které vyprodukuje jedinec (nebo přesněji populace jednotkové velikosti) za časovou jednotku. V časovém intervalu stručně řekneme v čase se tedy do prostředí dostanou odpady v množství Dále označme symbolem podíl odpadu, který se rozloží za jednotku času; parametr samozřejmě splňuje nerovnosti

Z odpadu vyprodukovaného v čase tedy v prostředí zůstane v čase množství

odpadu. Nebo jinak, v čase bude v prostředí zůstávat množství

z odpadu vyprodukovaného v čase Populace kontaminovala prostředí po celou dobu své existence, proto celkové množství odpadu v čase je rovno

Je přirozené předpokládat, že s rostoucím množstvím odpadu v prostředí se zmenšuje růstový koeficient populace; čím více je prostředí kontaminováno, tím větší je úmrtnost. Pro první model tohoto typu zvolíme nejjednodušší možnost - lineární závislost. Růstový koeficient populace závislý na celkovém množství toxického odpadu vyjádříme jako

kde je vhodná kladná konstanta; vyjadřuje citlivost populace na znečištění.

Provedenými úvahami jsme dospěli k modelu vývoje populace ve tvaru

(17)

Abychom podle tohoto modelu vypočítali velikost populace v následujícím časovém okamžiku , potřebujeme znát velikost populace ve všech předchozích časech . Množina počátečních podmínek

(18)

pro operátorově-diferenční rovnici Diferenční rovnice (17) je tedy nekonečná.

Můžeme se ptát, zda i populace, jejíž velikost se vyvíjí podle modelu Diferenční rovnice (17) může být v dynamické rovnováze se svým prostředím. Ptáme se tedy, zda existuje velikost populace, kterou označíme tak, aby pro každou hodnotu tj. zda existuje kladné řešení algebraické rovnice

Poněvadž můžeme geometrickou řadu na pravé straně této rovnice sečíst. Po snadné úpravě dostaneme

Toto číslo je kladné, pokud Již víme, že populace s růstovým koeficientem jejíž růst by nebyl omezován znečišťovaný prostředím, roste nade všechny meze. Produkce odpadu tedy může stabilizovat velikost populace.

Opět můžeme rovnovážnou velikost označit symbolem Pak bude

a rovnici Diferenční rovnice (17) můžeme přepsat ve tvaru

(19)

Růst populace je nyní charakterizován třemi parametry - vnitřním koeficientem růstu kapacitou prostředí a rychlostí rozkladu odpadních produktů Povšimněme si, že v limitním případě tj. v případě, že všechny odpadní produkty se rozloží hned během jednotkového času, rovnice Diferenční rovnice (19) přejde v rovnici Přípravné úvahy (14).

Řešení úlohy Diferenční rovnice (19), Diferenční rovnice (18) nemůžeme bezprostředně simulovat na počítači, neznáme a nemůžeme zadat nekonečnou množinu počátečních hodnot. Budeme proto uvažovat jednodušší úlohu. Představme si, že v čase do neobsazeného prostředí pronikla populace o velikosti Pak se počáteční podmínky Diferenční rovnice (18) redukují na

V tomto případě je také

Rovnici Diferenční rovnice (19) proto můžeme přepsat ve tvaru

(20)

Ještě poznamenejme, že operátorově-diferenční rovnice tohoto tvaru se nazývá diferenční rovnice s distribuovaným zpožděním nebo diferenční rovnice konvolučního typu.