V tomto oddíle se budeme zabývat modely vývoje velikostí dvou populací s oddělenými generacemi, které na sebe vzájemně nějak působí. Přitom budeme předpokládat, že obě populace mají stejný generační čas, tj. že časová jednotka v diferenčních rovnicích popisujících jejich vývoj je stejná.

Označíme velikost -té populace v čase a obecný model vývoje jejich velikostí zapíšeme jako

(46)

Přitom funkce vyjadřuje růstový koeficient -té populace, který v každém čase může záviset na velikostech obou uvažovaných populací. Budeme předpokládat, že oba růstové koeficienty jsou diferencovatelnými funkcemi. Znaménko parciální derivace -tého růstového koeficientu podle -té proměnné určuje, zda -tá populace omezuje nebo podporuje růst populace -té. Konkrétně, je-li

pak se u -té populace projevuje vnitrodruhová konkurence (což je případ podrobně diskutovaný v úvodu kapitoly Přípravné úvahy), resp. vnitrodruhová kooperace. Pokud je

pak se jedná o mezidruhovou konkurenci (kompetici); populace soupeří o stejné omezené zdroje a vzájemně se omezují. V případě, že

jedná se o mutualismus nebo symbiózu; populace se vzájemně podporují. Mají-li tyto parciální derivace opačná znaménka,

jde o predaci nebo parazitismus (obecně o vztah producent-konzument). V prvním případě je první populace kořistí (hostitelem, producentem) a druhá dravcem (parazitem, parazitoidem, konzumentem), ve druhém je tomu naopak.

Modely konkrétních dvojic interagujících populací dostaneme z obecné soustavy Aplikace (46) volbou růstových koeficientů Přitom můžeme vycházet z předpokladu, že jedna populace bez přítomnosti druhé by se vyvíjela podle některého modelu zavedeného v kapitole Přípravné úvahy, tj.

kde je nějaký růstový koeficient použitý v některém z modelů Přípravné úvahy (7), Přípravné úvahy (14), Přípravné úvahy (16) nebo Přípravné úvahy (17). Růstové koeficienty a samozřejmě mohou být různých tvarů.

Dvourozměrný systém Aplikace (46) můžeme ve většině případů změnou měřítka stavových proměnných transformovat na systém speciálnějšího tvaru

(47)

s bezrozměrnými stavovými proměnnými a se stavovým prostorem Tento systém má vždy rovnovážný bod který vyjadřuje nepřítomnost (nebo extinkci) obou populací. Dále může mít rovnovážné body tvaru resp. kde resp. je řešením rovnice

Takové rovnovážné body, budeme je souhrnně nazývat hranové, vyjadřují ustálený stav jedné populace za nepřítomnosti druhé.

Rovnovážné body tvaru kde a jsou kladná řešení soustavy rovnic

nazveme vnitřní. Takové body představují ustálenou koexistenci obou populací.

Pro vyšetřování kvalitativních vlastností řešení systému Aplikace (47), zejména pro zjišťování stability rovnovážných bodů, využijeme výsledky uvedené u obecného dvojrozměrného systému Autonomní rovnice (23).

Variační matice systému Aplikace (47) v obecném bodě je rovna

Zejména

a podle obecného výsledku platí: Je-li

(48)

pak je rovnovážný bod systému Aplikace (47) asymptoticky stabilní; je-li

(49)

pak je rovnovážný bod nestabilní. Asymptotická stabilita rovnovážného bodu vyjadřuje, že při malých velikostech obou populací spěje modelované dvojdruhové společenstvo nevyhnutelně k vyhynutí.

Variační matice systému Aplikace (47) v hranových rovnovážných bodech jsou

takže platí: Je-li

(50)

resp.

(51)

pak je rovnovážný bod resp. systému Aplikace (47) asymptoticky stabilní. Asymptotická stabilita rovnovážného bodu vyjadřuje, že do prostředí obsazeného první populací (přičemž velikost populace je v dynamické rovnováze s prostředím) nemůže invadovat druhá populace. Analogicky lze interpretovat stabilitu druhého rovnovážného bodu.

Podmínku Aplikace (50) můžeme upravit do použitelnějšího tvaru. Označme

Pak podmínku Aplikace (50) můžeme přepsat jako soustavu nerovnic

pro neznámou a parametr která má pro řešení Tedy pokud platí

(52)

pak je hranový rovnovážný bod systému Aplikace (47) asymptoticky stabilní. Pokud platí

(53)

pak je rovnovážný bod nestabilní.

Podobným postupem dostaneme z podmínky Aplikace (51) dostatečnou podmínku stability

(54)

a nestability

(55)

hranového rovnovážného bodu systému Aplikace (47).

Variační matici systému Aplikace (47) v rovnovážném bodě zapíšeme ve stručnějším tvaru jako

Z tohoto zápisu dostaneme dostatečnou podmínku pro asymptotickou stabilitu vnitřního rovnovážného bodu systému Aplikace (47) ve tvaru nerovností

(56)

Tuto podmínku můžeme opět upravit do jednoduššího tvaru. Nyní označíme

a nerovnosti Aplikace (56) přepíšeme jako soustavu nerovnic

pro neznámou s parametrem která má pro řešení tj.

povšimněme si, že nerovnost je obsažena v nerovnosti Tedy pokud platí

(57)

pak je vnitřní rovnovážný bod systému Aplikace (47) asymptoticky stabilní.

U vnitřního rovnovážného bodu má význam také otázka, zda v jeho okolí jsou řešení monotonní nebo oscilují. Dostatečné podmínky monotonnosti řešení konvergujícího k můžeme přepsat do tvaru

(58)

vytvořil Institut biostatistiky a analýz Lékařské fakulty Masarykovy univerzity