Logistická rovnice

Logistická diferenční rovnice je rovnice tvaru

kde

Rekurentní vztah pro hledanou posloupnost ukazuje, že logistická rovnice s počáteční podmínkou má jednoznačné řešení pro Z rekurentního vztahu však obecně nelze jednoznačně vyjádřit hodnotu v závislosti na Z rovnice

totiž vychází

Odtud plyne, že logistická rovnice s počáteční podmínkou má reálné řešení pro nějaké indexy pouze v případě, že Toto řešení však obecně není vyjádřeno jednoznačně. Jedinou výjimkou je případ pak je konstantní posloupnost jednoznačným řešením počáteční úlohy definovaným na celé množině V případě totiž dostaneme a hodnota již není určena jednoznačně.

Z vyjádření diference hledané posloupnosti bezprostředně plyne, že konstantní posloupnosti

(24)

jsou řešeními logistické rovnice definovanými na celé množině Tyto posloupnosti ovšem obecně nelze považovat za řešení logistické rovnice s počáteční hodnotou nebo

Počáteční úlohu pro logistickou rovnici vyřešíme pouze ve třech speciálních případech.

 

Případ Budeme řešit počáteční úlohu

(25)

která je ekvivalentní s úlohou

Nejprve zavedeme substituci

(26)

Po dosazení a úpravách postupně dostaneme

To je logaritmicky lineární rovnice. Jejím logaritmováním dostaneme

což je lineární homogenní rovnice pro posloupnost

(27)

To znamená, že kde Odtud dostaneme

Zpětnou substitucí dostaneme řešení úlohy ve tvaru

(28)

Při řešení úlohy jsme mlčky předpokládali, že výraz je definován, tedy že Výraz na pravé straně rovnosti Některé explicitně řešitelné rovnice (28) je však definován pro každé Platí totiž

Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že rovností Některé explicitně řešitelné rovnice (28) je skutečně definováno řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (25) pro libovolnou počáteční hodnotu.

 

Postup hledání tvaru Některé explicitně řešitelné rovnice (28) řešení počáteční úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (25) pomocí substitucí Některé explicitně řešitelné rovnice (26) a Některé explicitně řešitelné rovnice (27) můžeme popsat ve zhuštěné formě: substitucí

najdeme řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (25) ve tvaru

Kvalitativní vlastnosti řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (25). Pro je takže řešení úlohy s takovými počátečními hodnotami splňuje

Pro a je neboť číslo je sudé. Proto řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (25) s počáteční podmínkou splňuje rovnost pro každé

Pro nebo je a proto

Pro je řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (25) rovno v souladu s Některé explicitně řešitelné rovnice (24). Toto řešení je definováno na celé množině jak již bylo předesláno.

 

Případ Nejprve budeme hledat nezáporné řešení počáteční úlohy

(29)

To znamená, že budeme předpokládat, že a zavedeme substituci

(30)

Po dosazení do rekurentní formule v Některé explicitně řešitelné rovnice (29) dostaneme

tedy

Počáteční podmínka bude Jedná se tedy o rovnici tvaru Některé explicitně řešitelné rovnice (21) s nezápornou počáteční hodnotou, kterou řešíme substitucí

(31)

Podle Některé explicitně řešitelné rovnice (23) dostaneme řešení ve tvaru

Zpětnou substitucí dostaneme řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) vyjádřené formulí

(32)

Přímým výpočtem můžeme ověřit, že tato posloupnost je skutečně řešením úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29).

Postup hledání řešení tvaru Některé explicitně řešitelné rovnice (32) počáteční úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s pomocí substitucí Některé explicitně řešitelné rovnice (30) a Některé explicitně řešitelné rovnice (31) můžeme opět zformulovat ve zhuštěné podobě: Substitucí

najdeme řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s ve tvaru

Kvalitativní vlastnosti řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s

Nejprve ukážeme, že logistická rovnice s parametrem má periodická řešení libovolné periody. Buď tedy libovolné přirozené číslo a položíme

Dosazením do Některé explicitně řešitelné rovnice (32) dostaneme

Pro je

v souladu s Některé explicitně řešitelné rovnice (24).

V případě rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (25) libovolné řešení s počáteční hodnotou konvergovalo ke konstantnímu nenulovému řešení. Rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (29) tuto vlastnost nemá, periodická řešení samozřejmě nekonvergují. Ovšem existují taková řešení, která ke  konvergují. Uvažme řešení s počáteční hodnotou

a buď libovolné. Pak platí

To znamená, že pro a pro

 

Nyní hledejme řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s počáteční hodnotou splňující nerovnost nebo tj.

Nejprve si všimněme, že pro je Dále pro je také

záporné, pak je záporné pro každé Celkem tak dostáváme, že pro počáteční hodnotu splňující nerovnost řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) splňuje nerovnost pro všechna Budeme tedy řešit úlohu

(33)

Poněvadž řešení této úlohy je záporné, můžeme použít substituci

(34)

Dosazením do rovnice v Některé explicitně řešitelné rovnice (33) dostaneme

neboli

To je diferenční rovnice tvaru Některé explicitně řešitelné rovnice (19) pro posloupnost Příslušná počáteční podmínka je Tuto úlohu řešíme substitucí a podle Některé explicitně řešitelné rovnice (20) dostaneme její řešení ve tvaru

Zpětnou substitucí Některé explicitně řešitelné rovnice (34) napíšeme řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (33) ve tvaru

(35)

Tento výsledek můžeme ještě upravit. Nejprve využijeme skutečnosti, že a proto

dále využijeme vzorec pro hyperbolický sinus polovičního argumentu

a po dosazení dostaneme

Odtud vyjádříme

(36)

Řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s počáteční hodnotou , splňující nerovnost jsme pro dostali v implicitním tvaru Některé explicitně řešitelné rovnice (36). Již snadno ověříme, že rovností

(37)

je dáno řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s počáteční hodnotou splňující pro každé

Přímým výpočtem můžeme také ukázat, že substitucí

dostaneme řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s počáteční hodnotou splňující nerovnost ve tvaru Některé explicitně řešitelné rovnice (37).

Kvalitativní vlastnosti řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (29) s počáteční hodnotou splňující nerovnost Z vyjádření řešení ve tvaru Některé explicitně řešitelné rovnice (35) vidíme, že pro libovolné řešení úlohy platí

a posloupnost je ryze klesající.

 

Případ Budeme řešit počáteční úlohu

(38)

Nejprve zavedeme substituci

(39)

Po dosazení dostaneme

Posloupnost je tedy řešením počáteční úlohy

To je první z rovnic řešitelná goniometrickou nebo hyperbolickou substitucí, viz Goniometrické a hyperbolické substituce. Řešení rovnice hledáme pro různé počáteční hodnoty různými substitucemi.

Nechť nejprve tj. Substitucí

(40)

dostaneme řešení ve tvaru Zpětnou substitucí dostaneme řešení původní úlohy

Pokud tj. nebo použijeme substituci

(41)

a dostaneme řešení ve tvaru

Řešení logistické rovnice s parametrem pomocí substitucí Některé explicitně řešitelné rovnice (39) a Některé explicitně řešitelné rovnice (40) nebo Některé explicitně řešitelné rovnice (41) můžeme opět shrnout:

Řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (38) s počáteční podmínkou najdeme substitucí

ve tvaru

řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (38) s počáteční podmínkou najdeme substitucí

ve tvaru

 

„Zobecňující“ poznámka 5.4. Logistickou rovnici

lze pro některé hodnoty parametru a některé počáteční hodnoty řešit substitucí

kterou dostaneme řešení logistické rovnice v implicitním tvaru

Hodnoty parametru a počáteční hodnoty pro které jsme tímto postupem našli řešení logistické rovnice jsou shrnuty v tabulce Některé explicitně řešitelné rovnice 1.

Tab. 1. Hodnoty parametru a počáteční podmínky, pro které je řešení diskrétní logistické rovnice x(t+1)=ax(t)(1-x(t)) s počáteční podmínkou x(t0)=x0 implicitně dáno rovností f(x(t))=(2t-t0-1(f(x0))).