Nehomogenní systém a metoda variace konstant

Rovnice Lineární rovnice (58) se nazývá přidružená homogenní rovnice k nehomogenní rovnici Lineární rovnice (55).

Budeme předpokládat, že matice je regulární v každém indexu ze svého definičního oboru. Nechť je fundamentální matice přidružené homogenní rovnice. Řešení nehomogenní rovnice budeme hledat ve tvaru

(62)

řešení tedy předpokládáme v analogickém tvaru, jako má řešení přidružené homogenní rovnice podle věty Lineární rovnice 4.6 s tím rozdílem, že vektor není konstantní - konstanty varírujeme. Poněvadž vektor má být řešením rovnice Lineární rovnice (55), musí platit

a současně podle Lineární rovnice (62)

neboť matice je řešením úlohy Lineární rovnice (59). Odtud dostáváme

neboli

Vektorová posloupnost tedy splňuje rovnici

takže podle Přípravné úvahy (25) platí

přitom je nějaký konstantní vektor.

Řešení nehomogenní rovnice Lineární rovnice (55) je tedy tvaru

(63)

První sčítanec na pravé straně této rovnosti je podle věty Lineární rovnice 4.6 obecným řešením přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (58). Označme druhý sčítanec symbolem Pak platí

To znamená, že vektorová posloupnost je řešenímrovnice Lineární rovnice (55) s počáteční podmínkou

Ještě si povšimněme, že pro posloupnost danou rovností Lineární rovnice (63) platí

Tímto způsobem jsme odvodili:

Věta 4.9. Nechť matice je regulární pro každé ze svého definičního oboru. Obecné řešení rovnice Lineární rovnice (55) je součtem obecného řešení přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (58) a partikulárního řešení rovnice Lineární rovnice (55). Toto řešení lze vyjádřit ve tvaru

kde je fundamentální matice přidružené homogenní rovnice Lineární rovnice (58).

S využitím maticové exponenciální funkce můžeme nyní řešení lineárního systému Lineární rovnice (53) s regresivní maticovou posloupností zapsat ve tvaru

Příklad 4.10. Uvažujme jednorozměrný lineární nehomogenní systém, tedy skalární rovnici

Podle věty Lineární rovnice 4.9 a výsledku příkladu uvedeného za větou Lineární rovnice 4.6 je obecným řešením této rovnice posloupnost

což je v souladu s větou Lineární rovnice 4.9.