Rovnice II

Rovnice

Řešení uvažované úlohy je pro určeno jednoznačně, neboť se jedná o rekurentní formuli prvního řádu s počáteční podmínkou a odmocninu považujeme v reálném oboru za jednoznačnou funkci. Řešení ovšem v případě znaménka „-“ pod odmocninou nemusí být definováno pro každé je-li totiž v takovém případě pak není definováno.

Z rovnice a z počáteční podmínky plyne, že pro hodnotu řešení by mělo platit

nebo po snadné úpravě

takže by mělo platit

hodnota tedy není určena jednoznačně. Z tohoto důvodu má smysl uvažovat řešení pouze pro

Pokud je pod odmocninou na pravé straně rovnice znaménko „+“, tedy pokud je rovnice tvaru

(19)

zavedeme substituci a využijeme známých vlastností hyperbolických funkcí

Pak je

Poněvadž hyperbolický sinus je prostá funkce, implicitní diferenční rovnice

je ekvivalentní s explicitní rovnicí a její řešení je tvaru

kde tj.

Zpětnou substitucí dostaneme řešení úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (19), Některé explicitně řešitelné rovnice (17) pro ve tvaru

(20)

Rovnice se znaménkem „-“ pod odmocninou na pravé straně, tedy rovnice

(21)

může mít řešení pouze pro počáteční podmínku pro není pravá strana rovnice definována. Navíc pro všechny hodnoty řešení musí platit Pokud je bude řešením úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (21), Některé explicitně řešitelné rovnice (17) konstantní posloupnost

Dále si můžeme všimnout, že pro řešení úlohy platí

neboť odmocninu v reálném oboru chápeme jako nezápornou funkci. To znamená, že řešení rovnice nemění znaménko, tj. pro všechna

Toto pozorování umožňuje zavést substituci

(22)

Využijeme známých vlastností goniometrických funkcí

a pro dostaneme

Řešíme tedy goniometrickou rovnici s absolutní hodnotou pro neznámou Řešení této rovnice může být řešením některé ze dvou goniometrických rovnic

pro neznámou První z těchto rovnic má dvě řešení

druhá má také dvě řešení

To znamená, že posloupnost splňuje některou z nekonečného systému lineárních rekurentních formulí prvního řádu

nebo ekvivalentně lineárních diferenčních rovnic Podle důsledku Lineární rovnice 2.7 věty Lineární rovnice 2.5 je řešení těchto rovnic tvaru

kde Sumu na pravé straně rovnosti lze vyjádřit jako

což znamená, že pro je rovna lichému celému číslu. Proto pro platí

a tedy také

Dostáváme tak výsledek, že řešení počáteční úlohy Některé explicitně řešitelné rovnice (21), Některé explicitně řešitelné rovnice (17) s je pro dáno formulí

(23)

toto řešení nemění znaménko a pro libovolné splňuje nerovnost

Příklad 5.2.

Zavedeme substituci Pak

Tedy neboli

Řešení této rovnice s počáteční podmínkou je podle předchozího výsledku dáno výrazem Řešení dané úlohy tedy je