Diference

Definice 3.3. Operátor (první) diference (vpřed) přiřadí posloupnosti  posloupnost definovanou vztahem

Je-li pak také pro libovolné

Z definice operátorů diference a posunu plyne, že

(18)

nebo stručněji

Operátory posunu a diference komutují na prostoru posloupností, tj. pro každou posloupnost platí

Pro libovolný index totiž platí

Věta 3.4. Operátor diference je surjektivní zobrazení, které není prosté. Zúžení  na množinu kde je lineární a jeho jádrem je množina stacionárních posloupností.

Důkaz. Buď libovolná posloupnost, Pro každé položíme

Pak podle tvrzení Přípravné úvahy 2.24 platí

což znamená, že posloupnost je obrazem posloupnosti při zobrazení

Nechť je libovolná posloupnost. Pro každé položme Pak a Avšak pro libovolné platí

tedy

Nechť Pak

Nechť Pak tedy

Nechť tedy Pak pro každé platí tedy pro všechna je takže posloupnost je stacionární.

Poznámka 3.5. Z důkazu první části věty Přípravné úvahy 3.4 plyne

(19)

pro libovolnou posloupnost a indexy

Druhou část věty Přípravné úvahy 3.4 lze přeformulovat: Pro libovolné posloupnosti  se stejným definičním oborem a pro každé reálné číslo platí

(20)

právě tehdy, když posloupnost je stacionární.

Z rovností Přípravné úvahy (20) bezprostředně plyne

Máme tedy formule pro diferenci součtu a rozdílu posloupností.

Věta 3.6.(Diference součinu a podílu posloupností). Buď a Pak platí

(21)

Pokud pro každý index pak platí

(22)

(23)

Důkaz. První rovnost v Přípravné úvahy (21) plyne z výpočtu

druhá z výpočtu

a třetí je důsledkem prvních dvou.

Nechť všechny členy posloupnosti jsou nenulové. Pak

což je první rovnost Přípravné úvahy (23). Z ní plyne rovnost Přípravné úvahy (22); z té a z rovností Přípravné úvahy (21) plynou zbývající rovnosti Přípravné úvahy (23).