Posloupnosti 2
Tvrzení 2.21. Množina hromadných bodů libovolné posloupnosti má nejmenší a největší prvek.
Důkaz. V. Novák. Diferenciální počet v R. Brno, MU, 1997. Věta 5.7., str. 131.
Definice 2.22. Nejmenší hromadný bod posloupnosti se nazývá limes inferior a označuje
největší hromadný bod posloupnosti
se nazývá limes superior a označuje
Z definice bezprostředně plyne
Posloupnost je ohraničená zdola právě tehdy, když
je ohraničená shora právě tehdy, když
je konvergentní právě tehdy když
nemá (vlastní ani nevlastní) limitu právě tehdy, když
Definice 2. 23. Nechť
takové, že
Součet členů posloupnosti
od
do
definujeme vztahem
pokud a
pro
klademe
Tvrzení 2.24. Nechť Pak platí
|
|
|
pro všechna taková, že uvedené součty jsou definovány.
Pokud navíc pro
pak
pro všechna taková, že uvedené součiny jsou definovány.
Důkaz. Nechť Pak také
a tedy
což je ekvivalentní s první rovností. Její platnost budeme v dalších částech důkazu využívat.
Platnost druhé rovnosti ověříme pro Je-li
pak
|
|
|
|
|
- je-li
pak
- je-li
pak
- je-li
pak
- je-li
pak
V případech a
ukážeme platnost druhé rovnosti analogicky.
Při ověřování třetí rovnosti rozlišíme čtyři případy:
- je-li
pak
|
|
- je-li
pak
- je-li
pak
- je-li
pak
|
|
Čtvrtou rovnost dokážeme úplnou indukcí:
pro platí
- indukční krok „vpřed“:
|
|
|
|
- indukční krok „vzad“:
|
|
|
|
Rovnosti pro součin ověříme stejně.
