
Riccatiho a Bernoulliova rovnice
Riccatiho diferenční rovnice je tvaru
|
(4) |
kde je nenulová regresivní posloupnost. Rovnici můžeme přepsat ve tvaru rekurentní formule
|
(5) |
nebo explicitní diferenční rovnice prvního typu
S využitím operátorů posunu a diference můžeme rovnici Některé explicitně řešitelné rovnice (4) přepsat do tvaru
a z něho vyjádřit diferenci hledané posloupnosti
Tato rovnice je diskrétní analogií Riccatiho diferenciální rovnice
Riccatiho diferenční rovnici řešíme pomocí substituce
|
(6) |
Dosadíme do rekurentní formule Některé explicitně řešitelné rovnice (5) a postupně upravujeme:
|
|
|
|
|
Odtud vidíme, že posloupnost je řešením lineární homogenní diferenční rovnice druhého řádu
kterou můžeme také zapsat stručněji pomocí operátorů posunu a diference
Tvrzení 2.1. Riccatiho diferenční rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (4) pro neznámou posloupnost se substitucí Některé explicitně řešitelné rovnice (6) transformuje na lineární homogenní rovnici druhého řádu pro neznámou posloupnost
Příklad 2.2.
Zavedeme substituci
dosadíme do dané rovnice a postupně ji upravíme
Daná rovnice se tedy transformuje na lineární homogenní rovnici druhého řádu
Její charakteristická rovnice
má dva reálné různé kořeny
Obecné řešení lineární diferenční rovnice tedy je
Označme
Pro počáteční hodnoty dále platí
a z toho vypočítáme
Z těchto podmínek dostaneme systém (algebraických) rovnic pro konstanty
![]()
tj.
Z něho vypočítáme
Řešení úlohy pro lineární rovnici je
Zpětnou substitucí tedy dostaneme řešení zadané úlohy ve tvaru
Pokud tj. na pravé straně rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (4) je nula, můžeme použít jednodušší substituci. V tomto případě položíme
|
(7) |
dosadíme do rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (4) a vynásobíme výrazem Dostaneme
Je-li přitom posloupnost regresivní, upravíme tuto rovnici na tvar lineární diferenční rovnice prvního řádu
Tato rovnice má podle věty Lineární rovnice 2.5 řešení
|
kde Platí tedy:
Tvrzení 2.3. Je-li ak má Riccatiho rovnice řešení
Rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (4) s a s regresivní posloupností
se v literatuře objevuje v rozmanitých tvarem. Ukážeme některé z nich. Rovnici v takovém případě můžeme přepsat na tvar
a při označení
dostaneme
neboli
|
(8) |
případně
|
(9) |
S pomocí operátoru posunu můžeme rovnici Některé explicitně řešitelné rovnice (8) přepsat ve tvaru
Vynásobením výrazem dostaneme rovnici ve tvaru
Z ní můžeme vyjádřit
nebo
|
(10) |
Poslední rovnici vynásobíme jmenovatelem pravé strany a upravíme na tvar
ze kterého dostaneme jiné vyjádření diference hledané posloupnosti
Bernoulliova diferenční rovnice je tvaru
|
(11) |
kde je nějaké reálné číslo. Bernoulliovu diferenční rovnici můžeme také vyjádřit ve tvaru rekurentní formule
Porovnáním s rovnicí Některé explicitně řešitelné rovnice (9) vidíme, že Riccatiho rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (4) s je speciálním případem Bernoulliovy rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (11) s parametrem
Tvar Bernoulliovy rovnice bezprostředně ukazuje, že substituce
|
(12) |
transformuje Bernoulliovu diferenční rovnici Některé explicitně řešitelné rovnice (11) na lineární nehomogenní rovnici prvního řádu
|
(13) |
Tvrzení 2.4. Bernoulliova diferenční rovnice Některé explicitně řešitelné rovnice (11) pro neznámou posloupnost se substitucí Některé explicitně řešitelné rovnice (12) transformuje na lineární nehomogenní rovnici prvního řádu Některé explicitně řešitelné rovnice (13) pro neznámou posloupnost
Příklad 2.5. Bevertonovu-Holtovu rovnici Přípravné úvahy (16) můžeme přepsat ve tvaru
Jedná se tedy o rovnici Některé explicitně řešitelné rovnice (10), tj. rovnici, která je současně Riccatiho i Bernoulliova. Můžeme ji tedy vyřešit substitucí Některé explicitně řešitelné rovnice (12). Tato substituce byla v úvodu k této kapitole nalezena intuitivnějším způsobem.